定积分与微积分基本定理VIP免费

定积分与微积分基本定理【学习目标】1．了解定积分的实际背景、基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．【知识要点】1．定积分的定义及相关概念设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式∑ni＝1f(ξi)Δx＝∑ni＝1b－anf(ξi)．当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝∑ni＝1b－anf(ξi)．这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．2．定积分的性质(1)abkf(x)dx＝________________(k为常数)；(2)ab[f(x)±g(x)]dx＝_____________________；(3)abf(x)dx＝__________________(其中a＜c＜b)．3．微积分基本定理一般地，如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，那么abf(x)dx＝________________．kabf(x)dxabf(x)dx±abg(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dxF(b)－F(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作___________，即abf(x)dx＝___________________．F(x)abF(x)ab＝F(b)－F(a)【基础检测】1．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若03f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝()A．±1B.2C．±3D．2【解析】03f(x)dx＝03(ax2＋b)dx＝a3x3＋bx30＝9a＋3b＝3f(x0)．∴f(x0)＝3a＋b＝ax02＋b，∴x02＝3，∴x0＝±3.C2．曲线y＝x2－2x与直线x＋y＝0所围成的封闭图形的面积为()A.23B.56C.13D.16【解析】如图，A(1，－1)，故所求面积为S＝01(－x－x2＋2x)dx＝12x2－13x310＝12－13＝16.D3．设f(x)＝x2，x∈[0，1]1x，x∈（1，e](e为自然对数的底数)，则∫0ef(x)Dx的值为________．【解析】∫0ef(x)Dx＝01x2Dx＋∫1e1xDx＝x3310＋lnxe1＝13＋lne＝43.434．计算－22(4－x2＋x2)dx的值为___________．【解析】由于－224－x2＋x2dx＝－224－x2dx＋－22x2dx＝12π·22＋13x32－2＝2π＋163.2π＋163一、微积分基本定理及应用例1求下列定积分：(1)12(3x2＋2x)dx；(2)01(ex＋2x)dx；(3)14x＋1xdx；(4)20()xπcos22sind－xx.【解析】(1)原式＝(x3＋x2)12＝12－2＝10.(2)原式＝01exdx＋012xdx＝ex01＋x201=e－1＋1＝e.(3)原式＝14xdx＋141xdx＝23x3214＋lnx14＝23432－1＋ln4－ln1＝143＋ln4.(4)原式＝20xπcos2dx－20π2sindxx＝π1sin2220x＋π2cos20x＝0－0＋0－2＝－2.【点评】计算一些简单的定积分，解题的步骤是：①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或差；②分别用求导公式找到一个相应的原函数；③计算原始定积分的值．二、定积分几何意义及应用例2过点A(6，4)作曲线f(x)＝4x－8的切线l.(1)求切线l的方程；(2)求切线l、x轴及曲线f(x)＝4x－8所围成的封闭图形的面积S.【解析】(1) f′(x)＝1x－2，∴f′(6)＝12，∴切线l的方程为：y-4＝12(x－6)，即x-2y＋2＝0.(2)令f(x)=0，则x=2，令y=12x＋1=0，则x＝-2.∴S＝－2612x＋1dx－264x－8dx＝14x2＋x－26－16(4x－8)3226＝163.【点评】应用定积分计算曲边几何形的面积时，注意积分区间和被积函数的确定．三、定积分在物理学中的应用例3一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动．求：(1)在t＝4s时的位置；(2)在t＝4s时运动的路程．【解析】(1)在时刻t＝4s时该点的位置为04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t04＝43m.即在t＝4s时，该点距出发点43m.(2) v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)．∴在[0，1]及[3，4]上，v(t)≥0...