高三数学高考专题十 空间角与距离的计算与证明 试题VIP免费

空间角与距离的计算与证明第一课时：空间角第一课时：空间角[课前导引]1.四面体ABCD中，AB、CD所成的角为60°，E、F、G分别为BC、AC、AD中点，若AB=CD=2，则EG=______.第一课时：空间角[课前导引]1.四面体ABCD中，AB、CD所成的角为60°，E、F、G分别为BC、AC、AD中点，若AB=CD=2，则EG=______.[解析]△EFG中，∠EFG=60°或120°，则EG=2或.32第一课时：空间角[课前导引]2.两异面直线a,b所成角为60°，过空间一点P作与a、b都成25°（或30°或40°或60°或80°或90°）的直线，分别可作_______________条.2.两异面直线a,b所成角为60°，过空间一点P作与a、b都成25°（或30°或40°或60°或80°或90°）的直线，分别可作_______________条.答案：0、1、2、3、4、1.[考点搜索]1.掌握空间两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等概念；2.能熟练地在图形中找出相关的角并证明；3.能用向量方法和非向量方法进行计算；[考点搜索][链接高考][例1]（2004全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为()236.D32.C33.B31.A[链接高考][例1]（2004全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为()236.D32.C33.B31.AB[链接高考][例1]（2004年天津卷）在棱长为2的正方体中中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点.那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于()1111DCBAABCD1CC1FDD1C1A1B1ABCDOFE32.D54.C515.B510.A[例1]（2004年天津卷）在棱长为2的正方体中中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点.那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于()1111DCBAABCD1CC1FDD1C1A1B1ABCDOFE32.D54.C515.B510.A[解析]利用空间向量求解较简便.[例1]（2004年天津卷）在棱长为2的正方体中中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点.那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于()1111DCBAABCD1CC1FDD1C1A1B1ABCDOFE32.D54.C515.B510.A[解析]利用空间向量求解较简便.B[例2]（2005湖南卷）已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，3()Ⅰ证明：AC⊥BO1；()Ⅱ求二面角O－AC－O1的大小.:,,.,,,::(1)111如图直角坐标系轴建立空间轴、轴、在直线分别为所、、为原点故可以即角的平面角是所折成的直二面由题设知证明zyxOOOBOAOOBOAAOBOOOBOOOA[法一]、则相关各点的坐标是)0,0,3(:A)3,0,0(),3,1,0(),0,3,0(1OCB.,0333)3,3,0()3,1,3(111BOACBOACBOAC所以从而00),,(.,,)(.0333)(1111111OCnACnACOzyxnOACBOOACBOBOACIOCBOOCBOII由的一个法向量是平面设的一个法向量是平面平面由111,:,BOnBOnOACO可知的方向、由的大小为设二面角)3,0,1(:3,0033nzyzyx得取.43arccos43,coscos1111的大小是即二面角OACOBOnBOnBOn3tan.,.,,,::)I(111111OOOBBOOOBCOACOCOBCOAOOBOAAOBOOOBOOO内的射影在面是平面从而即直二面角的平面角是所折成的所以由题设知证明[法二].:,,30,601111BOACBOOCOCOBOO由三垂线定理得从而33tan111OOCOOCO.:,),(,,.:,)I()II(1111111ACFOAOCFOEFFOFACEFEEBOOCAOCBOBOOCBOAC由三垂线定理得内的射影面在平是则如图连结于作过点设平面知由1,3,3:.1111COOOOAOACOFEO由题设知的平面角是二面角所以322121OOOAAO.413sin,2330sin133211111111FOEOFEOOOEOACCOAOFO又从而132121COAOAC.43arcsin1的大小是即二面角OACO[例3]（2005全国卷一）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点.()Ⅰ证明：面PAD⊥面PCD；()Ⅱ求AC与PB所成的角；PADAB,9021()Ⅲ求面AMC与面BMC所成二面角的大小.()Ⅲ求面AMC与面BMC所成二面角的大小..,,.::)I(PADCDPDADPADCDPDCD面都垂直、两条相交直线内与面因而由三垂线定理得证明[法一].,PCDPADPCDCD面面面又...