9.4曲线与方程知识梳理t57301p21.方程的曲线与曲线的方程:(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解;(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.2.求曲线方程的基本步骤:(1)建立适当的坐标系,并设动点坐标(x,y);(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)将方程f(x,y)=0化简;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.拓展延伸1.平面内满足某条件的点的运动曲线称为轨迹,运动曲线的方程称为轨迹方程.轨迹与轨迹方程的关系就是方程的曲线与曲线的方程的关系.2.求点P的轨迹方程的本质是求点P的坐标x,y之间的关系,以及x,y的取值范围.求点P的轨迹,一般先求点P的轨迹方程,再指出其轨迹图形.3.求动点轨迹方程的常用方法有:直接法,定义法,参数法等,其基本思想是:(1)直接法:将已知条件直接转化为动点坐标之间的关系,再化简整理.(2)定义法:将已知条件转化为动点满足某圆锥曲线的定义,再写出曲线方程.(3)参数法:将已知条件转化为动点坐标与参数之间的关系,再消去参数.考点1求轨迹方程例1△ABC的顶点A固定,BC边的长为2a,BC边上的高为b,当BC边沿一条定直线移动时,求△ABC的外心M的轨迹方程.ABCM考点分析例2(09·湖南卷)在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当P点运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和,求点P的轨迹.例3(09·重庆卷改编)如图,已知点M为椭圆上一动点,点A(1,0)为定点,点B是圆x2+y2=1上的点,点N是点M在x轴上的射影.若动点C满足,且,求线段BC的中点P的轨迹方程,并指出点P的轨迹是什么曲线.2214yxOCOMONuuuruuuruuur0ABACuuuruuur例4如图,已知点A(-3,0),B(3,0),点C、D为圆x2+y2=25上两相异动点,且满足CB⊥CD.若点P在线段CD上,且∠PAD=∠PBC,求点P的轨迹方程.BACDPxyO【解题要点】建坐标系,设动点坐标→选择方法求轨迹方程→确定x,y的取值范围.考点2轨迹思想的应用例5(08·安徽卷)过点P(4,1)的动直线l与椭圆相交于不同两点A、B,在线段AB上取点Q,使|PA|·|QB|=|QA|·|PB|,求证:点Q总在某定直线上.22142xy+=AxyOBPQ例6设点F为椭圆C:的右焦点,点N(4,0),线段AB为椭圆的一条垂直于x轴的动弦,直线AF与BN交于点M.(1)求证:点M恒在椭圆C上;(2)求△AMN面积的最大值.22143xy+=例7(07·湖南卷改编)过双曲线x2-y2=2的右焦点F的动直线与双曲线相交于A,B两点,点C(1,0)为定点,O为坐标原点,若动点M满足求|OM|的最小值.CMCACBCOuuuruuruuruuur【解题要点】将目标问题转化为轨迹问题→依据动点轨迹研究变量范围与最值.