第3节二项式定理1．会用计数原理证明二项式定理．1．二项式定理(1)二项式定理(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)，这个公式叫做二项式定理．(2)二项式系数、二项式的通项在上式中它的右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数Cnk(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数，式中的Cnkan－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Cnkan－kbk.(1)二项式定理中展开式的特点：①展开式中各项的指数和都等于二项式的幂指数n；②展开式中共有n＋1项；③展开式中字母a按降幂排列，从第一项起次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(2)通项Tk＋1＝Cnkan－kbk是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，这里k∈{0,1，…，n}．(3)二项式(a＋b)n的第k＋1项与(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cnkbn－kak不同，应用二项式定理时，a和b不能随便交换位置．2．二项式系数的性质质疑探究：二项式系数与项的系数有什么区别？提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．1．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式系数为(D)(A)24(B)18(C)16(D)6解析： Tr＋1＝Cnran－r(2b)r，∴T2＝Cn1an－1(2b)＝2Cn1an－1b，∴2Cn1＝8，∴n＝4，∴第三项的二项式系数为C42＝6.2．在(x2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为(B)(A)－7(B)7(C)－28(D)28解析：依题意，n2＋1＝5，∴n＝8.二项式为(x2－13x)8，易得常数项为C86(x2)2(－13x)6＝7.3．若(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋…＋a11＝________.解析：令x＝2，则有a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(22＋1)(2－2)9＝0，再令x＝1，则有a0＝(12＋1)·(－1)＝－2，∴a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.答案：2(对应学生用书第153～154页)求二项展开式中的指定项或特定项【例1】已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．思路点拨：解：(1)通项为Tr＋1＝Cnrxn－r3(－12)rx－r3＝Cnr(－12)rxn－2r3.因为第6项为常数项，所以r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6)＝2，∴所求的系数为C102(－12)2＝454.(3)根据通项公式，由题意10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈N.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k. r∈N，∴k应为偶数．∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C102(－12)2x2，C105(－12)5，C108(－12)8x－2.(1)解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式相一致．变式探究11：二项式(x－3x)9展开式中的有理项为第________项．解析： Tr＋1＝C9r·(x12)9－r·(－x13)r＝(－1)r·C9r·x27－r6.令27－r6∈Z，即4＋3－r6∈Z，且r＝0,1,2，…，9.∴r＝3，或r＝9.当r＝3时，27－r6＝4，T4＝(－1)3·C93·x4＝－84x4；当r＝9时，27－r6＝3，T10＝(－1)9·C99·x3＝－x3.∴(x－3x)9的展开式中的有理项是第4项和第10项．答案：4和10二项式系数和或各项的系数和的问题【例2】在二项式(2x－3y)9展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和．思路点拨：解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C90＋C91＋C92＋…＋C99＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，∴a0＋a1＋a2＋…＋...
