高三数学 64数列的通项复习课件VIP免费

第四节数列的通项基础梳理1.数列的通项公式：如果数列{an}的________________之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．第n项与它的序号n2.数列的递推公式：如果已知数列{an}的首项(或者前几项)，且任意一项an与an－1(或其前面的项)之间的关系可以______________，那么这个公式就叫做数列的递推公式．它是数列的一种表示法．用一个公式来表示3.求通项公式的常用方法：(1)观察法；(2)定义法；(3)迭加法(又称累加法、逐差相加法)；(4)迭乘法(又称累乘法、逐商相乘法)；(5)其他方法(如观察、猜想、证明法等)．基础达标1.数列{an}满足an＋1＝an＋n，且a1＝1，则a5＝________.解析：a5＝a4＋4＝a3＋3＋4＝a2＋2＋3＋4＝a1＋1＋2＋3＋4＝11.2.已知数列1，325,3721,,n，，，，，n，则33是数列中的第________项．解析：因为3＝＝，即为数列中的(n＝13)，所以3是数列中的第26项．327213121n33.(2011·扬州中学模拟)若数列{an}的通项公式an＝21,1n记f(n)＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，通过计算f(1)、f(2)、f(3)的值，可推测f(n)＝________.解析：a1＝23111,,,4916aa故f(1)＝132(1),42f(2)＝1142(1)(1),493f(3)＝11152(1)(1)(1),49164故推测f(n)＝2.1nn4.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝则数列{an}的通项公式为________．1nnan，n∈N*，解析：由已知条件得a1＝2，an＋1＝an，n∈N*，1nn11,nnanan即3212123,,,;121nnaaanaaan当n≥2时，以上n－1个等式相乘，得3212123;,121nnaaannaaan即∴an＝na1， a1＝2，∴an＝2n，又当n＝1时a1＝2，适合上式，∴an＝2n(n∈N*)．1,nana经典例题题型一定义法求通项公式【例1】已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．分析两边同除以2n＋1，然后变形化简，得通项．解：由an＋1＝2an＋2n(n∈N*)，两边都除以2n＋1，得111,222nnnnaa即111,222nnnnaa又 a1＝0，∴＝0，12a∴数列是以0为首项，公差为的等差数列，2nna12110(1)(1),222nnann11(1)2(1)2.2nnnann变式1－1(2010·全国改编)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－1,na设c＝52bn＝1,2na求数列{bn}的通项公式．解析：由已知有an＋1－2＝52212,2nnnaaa12142,222nnnnaaaa∴bn＋1＝4bn＋2，∴bn＋1＋224()33nb23nb是一个首项为－1,3公比为4的等比数列．23bn＋＝－·4n－1，13即bn＝－·4n－1－.1323题型二累加法、累乘法求通项公式【例2】根据下列条件，写出数列的通项公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)a1＝1,2n－1an＝an－1.分析(1)将递推关系写成n－1个等式累加．(2)将递推关系写成n－1个等式累乘，或逐项迭代也可．解：(1)当n＝1,2,3，…，n－1时，可得n－1个等式．an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，将其相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)．∴an＝a1＋＝2＋(1)(11)2nn(1).2nn(2)方法一：an＝(1)21,2nnna1232112321nnnnnnaaaaaaaaaaa(1)122112(1)21111111()()()()()(),222222nnnnna方法二：由2n－1an＝an－1，得an＝n－1an－1，1()2∴112121121111111222222nnnnnnnnaaaa(1)12(2)(1)211.22nnnn变式2－1根据下列数列{an}的首项和基本关系式，分别求其通项公式．(1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)；(2)a1＝1，an＝1nnan－1(n≥2)．解析：(1) an＝an－1＋3n－1(n≥2)，∴an－1＝an－2＋3n－2，an－2＝an－3＋3n－3，…a2＝a1＋31.以上n－1个式子相加，得an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝又当n＝1时，a1＝1也适合上式，∴an＝31.2n31.2n(2) an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…a2＝a1.以上n－1个式子相乘，得an＝a1···…...