第8节立体几何中的向量方法(对应学生用书第112～113页)1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量也有无数个，且它们是共线向量．质疑探究1：求平面法向量的一般步骤是什么
提示：(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；(3)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组n·a＝0n·b＝0；(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．2．利用空间向量证明空间中的位置关系设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0
3．利用向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则(2)求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|
(3)求二面角的大小①若AB、CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB―→与CD―→的夹角(如图①)．②设n1，n2分别是二面角αlβ的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．4．求空间距离(1)两点间距离求法：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)
