第8节立体几何中的向量方法(对应学生用书第112～113页)1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量也有无数个，且它们是共线向量．质疑探究1：求平面法向量的一般步骤是什么？提示：(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；(3)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组n·a＝0n·b＝0；(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．2．利用空间向量证明空间中的位置关系设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.3．利用向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则(2)求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.(3)求二面角的大小①若AB、CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB―→与CD―→的夹角(如图①)．②设n1，n2分别是二面角αlβ的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．4．求空间距离(1)两点间距离求法：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.(2)点面距的求法：设n是平面α的法向量，点A在平面α内，点B在平面α外，则点B到平面α的距离为|AB―→·n||n|.(3)线面距、面面距均可转化为点面距再用(2)中方法求解．质疑探究2：两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？提示：[0，π]；(0，π2]；[0，π2]；[0，π]．1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则(B)(A)l1∥l2(B)l1⊥l2(C)l1与l2相交但不垂直(D)以上均不正确解析：由于a·b＝2×(－6)＋4×9－4×6＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2，故选B.2．下列命题中，正确命题的个数为(D)①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．(A)1(B)2(C)3(D)4解析：由平面的法向量与平面间的位置关系可知四个命题均正确．故选D.3．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(C)(A)45°(B)135°(C)45°或135°(D)90°解析：cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝11·2＝22，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.故选C.4．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________________________________________________________________________解析：设l与α所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n·a〉|＝|n·a||n||a|＝|－8－3＋3|16＋1＋1·4＋9＋9＝41133.答案：41133(对应学生用书第113～114页)利用空间向量证明平行、垂直问题【例1】在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E、F、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．(1)求证：CE∥平面C1E1F；(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.思路点拨：①建系转化为证直线CE的方向向量与平面C1E1F的法向量垂直；②转化为证两平面C1E1F和平面CEF的法向量垂直．证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，12，2)．(1)设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)． C1E1―→＝(1，－12，0)，FC1―→＝(－1,0,1)，∴n·C1E1―→＝0n·FC1―→＝0，即x－12y＝0－x＋z＝0，...
