高三数学一轮复习 第3章 三角函数第2课时 同角三角函数基本关系与诱导公式精品课件 文 北师大版 课件VIP免费

第2课时同角三角函数基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：(2)商数关系：sin2α＋cos2α＝1tanα＝sinαcosα2．诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限π2－απ2＋αsinα－sinα－sin_αsinαcosαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanαtanα－tanα－tanα【思考探究】“符号看象限”中，符号是否与α的大小有关？提示：无关．只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限的角．1．(2009·全国卷Ⅰ)sin585°的值为()A．－22B.22C．－32D.32解析：sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－22.答案：A2．已知sin(π－α)＝13，α∈π2，π，则tanα＝()A．－24B．－223C.223D.24解析：由题可得sinα＝13，cosα＝－223，∴tanα＝－24，选A.答案：A3．若tanα＝2，则2sinα－cosαsinα＋2cosα的值为()A．0B.34C．1D.54解析：2sinα－cosαsinα＋2cosα＝2tanα－1tanα＋2＝2×2－12＋2＝34.答案：B4．如果cosα＝15，且α是第四象限的角，那么cosα＋π2＝______.解析：α是第四象限的角且cosα＝15，∴sinα＝－1－cos2α＝－265，于是cosα＋π2＝－sinα＝265.答案：2655．tan300°＋sin450°＝________.解析：tan300°＋sin450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝－tan60°＋sin90°＝－3＋1.答案：－3＋1同角三角函数的关系是由任意角的三角函数的定义得出，利用平方关系开方时要注意“±”的选取，商数关系常用于“切化弦”，其实，其商数关系tanα＝sinαcosα的逆用也很重要，若分式的分子、分母是关于同角的弦函数的齐次式的形式，可将分子、分母同除以弦函数的最高次数，从而转化成正切函数的形式来求值．已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，求下列各式的值：(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα；(2)sin2α＋sin2α.解析： sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，∴－sinα＝－2cosα，∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.方法一(直接代入)：(1)原式＝2cosα－4cosα5×2cosα＋2cosα＝－16；(2)原式＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.方法二(同除转化)：(1)原式＝tanα－45tanα＋2＝2－45×2＋2＝－16；(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝85.【变式训练】1.若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为()A.103B.53C.23D．－2解析：3sinα＋cosα＝0，则tanα＝－13，1cos2α＋sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α＋2sinαcosα＝tan2α＋11＋2tanα＝－132＋11＋2×－13＝103.答案：A1“”“”．应用诱导公式，重点是函数名称与正负号的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的“”→“”→求值问题，具体步骤为负角化正角正角化锐角求值．2．使用诱导公式要注意三角函数值在各个象限的符号，如果出现kπ±α的形式时，需要对k的值进行分类讨论，以确定三角函数值的符号．化简：(1)cosπ＋θcosθ[cosπ－θ－1]＋cosθ－2πsinθ－3π2cosθ－π－sin3π2＋θ(2)sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α，k∈Z.解析：(1)原式＝－cosθcosθ－cosθ－1＋cosθcosθ－cosθ＋cosθ＝11＋cosθ＋11－cosθ＝2sin2θ.(2)当k为偶数时，记k＝2n(n∈Z)，原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α＝sin－αcos－π－αsinπ＋αcosα＝－sinα－cosα－sinαcosα＝－1；当k为奇数时，记k＝2n＋1(n∈Z)，原式＝sin[2n＋1π－α]cos[2n＋1－1π－α]sin[2n＋1＋1π＋α]cos[2n＋1π＋α]＝sinπ－αcosαsinαcosπ＋α＝sinαcosαsinα－cosα＝－1.综上，原式＝－1.【变式训练】2.求...