1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数的应用函数应用的基本过程为1.若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是()A．0B．－1C．0，－1D．0,1答案：C2．设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案：B3．食用油的零售价今年比去年只上涨25%，政府欲使明年比去年上涨10%，则明年比今年降价()A．15%B．10%C．12%D．50%答案：C4．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________.解析： f(1)＝31＋1－5＝－1，f(2)＝32＋2－5＝6，∴f(1)·f(2)<0，∴x0∈[1,2]，a＝1，b＝2符合要求．∴a＋b＝3.答案：35．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：设函数y＝ax(a>0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点，由图象可知当0
1时，因为函数y＝ax(a>1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a>1.答案：a>1热点之一函数零点的判定1．函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值或大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．2．函数零点(即方程的根)的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．【例1】(1)已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0【解析】由于函数g(x)＝11－x＝－1x－1在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0，故选B.【答案】B(2)函数f(x)＝cosπx－log3x的零点的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】求函数f(x)＝cosπx－log3x的零点个数，等价于求g(x)＝cosπx与h(x)＝log3x两函数图象的交点个数．g(x)＝cosπx的最小正周期是T＝2，而当x＝3时，log3x＝1，数形结合可知，共有3个交点，即f(x)＝cosπx－log3x的零点个数为3.【答案】C热点之二函数与方程的综合应用1．f(x)在[a，b]上连续，f(a)·f(b)<0是f(x)在(a，b)上存在零点的充分条件．存在并不能说明唯一．所以本题第(2)问还应注意，证明零点的唯一性．2．应用二分法确定零点所在区间长度不超过q，可有如下思考过程：①f(a)·f(b)<0，区间使|a－b|≤q，则零点x0∈(a，b)，区间(a，b)为所求．②若f(a)·f(b)<0，区间使|a－b|>q，则取中点a＋b2＝x0，进一步检验f(a)·f(x0)<0(或f(x0)·f(b)<0)及|a－x0|与q的关系(或|b－x0|与q的关系)，直至符合要求为止．【例2】已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.(1)证明：f(x)在其定义域上是增函数；(2)证明：f(x)有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.【解】(1)证明：函数的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝1x＋2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)证明： f(2)＝...
