第3课时等比数列1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从起，每一项与它的的比等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母(q≠0)表示．(2)等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.第2项前一项同一个公比qa1qn－11．等比数列{an}中a5＝4，则a2·a8等于()A．4B．8C．16D．32答案：C2．(2010·重庆卷)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8答案：A答案：C答案：155．(2010·福建卷)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.解析： 等比数列{an}的前3项之和为21，公比q＝4，不妨设首项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋4＋16)＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.答案：4n－1(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均为不为0的常数，n∈N)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．[注意](1)前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可．[变式训练]1.数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1，n∈N．求证：数列{an＋1}从第二项起是等比数列，并求数列{an}的通项公式．证明：由Sn＋1＝2Sn＋n＋1①得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋1(n≥2)．②①－②得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－(n－1)．故an＋1＝2an＋1(n≥2)．又an＋1＋1＝2(an＋1)，所以＝2(n≥2)．故数列{an＋1}从第二项起，是以a2＋1为首项，公比为2的等比数列．又S2＝2S1＋1＋1，a1＝1，所以a2＝3.故an＝4×2n－2－1＝2n－1(n≥2)又a1＝1不满足an＝2n－1，所以an＝.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn“”，一般可以知三求二，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．[注意]在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．2010·江苏苏州调研)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a＞0)．数列{bn}满足bn＝anan＋1(n∈N)．(1)若{an}是等差数列，且b3＝12，求a的值及{an}的通项公式；(2)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn；[变式训练]2.设等比数列{an}的公比q＜1，前n项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求数列{an}的通项公式．“”等比数列与等差数列在定义上只有一字之差，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列“”“”“”“”中的和倍数可以与等比数列中的积幂相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算．(2)由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.又 {an}是等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，即X，Y－X，Z－Y为等比数列，∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，∴Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)，∴选D.答案：(1)A(2)D[变式训练]3.(1)(2010·北京卷)在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝()A．9B．10C．11D．12(2)设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和，且，则logb5a5＝________.等比数列的定义，通项公式，前n项和公式是解决等比数列中的有关计算、讨论等比数列的有关性质的问题的基础和出发点．(1)确定等比数列的关键是确定首项a1和公比q.(2)在等比数列通项公式和前n项和公式中共涉及五个量an，a1，n，q，Sn“”，可知三求二．(3)等比数列求和公式的推导的思想可用于等比数列与等差数列对应项之积构成的数列求和问题，即利用错位相消的方法去求数列的前n项和．(4)在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．(5)等差...
