第6讲双曲线第6讲双曲线【2013年高考会这样考】1．考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定义、几何图形．2．考查求双曲线的几何性质及其应用．【复习指导】本讲复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质、近几年高考多以选择题．填空题进行考查．双曲线焦点焦距ac两条射线标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形2．双曲线的标准方程和几何性质一条规律双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．三个防范(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±abx.双基自测1．(人教A版教材习题改编)双曲线x210－y22＝1的焦距为()．A．32B．42C．33D．43解析由已知有c2＝a2＋b2＝12，∴c＝23，故双曲线的焦距为43.答案D2．(2011·安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()．A．2B．22C．4D．42解析双曲线2x2－y2＝8的标准方程为x24－y28＝1，所以实轴长2a＝4.答案C3．(2012·烟台调研)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()．A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±22xD．y＝±12x解析由题意得b＝1，c＝3.∴a＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±bax，即y＝±22x.答案C4．(2011·山东)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()．A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1D.x26－y23＝15．(2012·银川质检)设P是双曲线x2a2－y29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于________．解析由渐近线方程y＝32x，且b＝3，得a＝2，由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝4，又|PF1|＝3，∴|PF2|＝7.答案7由双曲线的第一定义可以判断点P的位置关系，在利用第二定义解题时，要注意左焦点与左准线相对应，右焦点与右准线相对应．【训练1】(2011·太原重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.答案4考向二求双曲线的标准方程【例2】►(2011·东莞调研)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()．A.x242－y232＝1B.x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D.x2132－y2122＝1[审题视点]抓住C2上动点满足的几何条件用定义法求方程．解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为：F1(－5,0)，F2(5,0)．设曲线C2上的一点P.则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为x242－y232＝1.答案A(1)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，求方程时应分类讨论，或者将方程设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．(2)已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．根据其他条件确定λ的值．若求得λ＞0，则焦点在x轴上；若求得λ＜0，则焦点在y轴上．解析依题意a2－b2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y＝2x，由y＝2x，x2a2＋y2b2＝1，解得x＝±ab4a2＋b2，故被椭圆截得的弦长为25ab4a2＋b2，又C1把AB三等分，所以25ab4a2＋b2＝2a3，两边平方并整理得a2＝11b2，代入a2－b2＝5得b2＝12.答案C在双曲线的几何性质中，应充分利...
