1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.1.函数零点的定义(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.(2)方程f(x)＝0有实根函数⇔y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有.f(x)＝0x轴零点[思考探究1]函数的零点是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点吗？提示：不是.函数的零点是一个实数，是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.2.函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)＝0的根.f(a)·f(b)＜0(a，b)f(c)＝0c[思考探究2](1)在上面条件下，(a，b)内有几个零点？提示：不一定.如函数f(x)＝x2－1在[－2,2]内有两个零点，但f(2)·f(－2)＞0.提示：不一定，可能有一个，也可有多个.(2)若函数f(x)在[a，b]内有零点，一定有f(a)·f(b)＜0吗？3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点零点个数(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点两个一个零个4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证，给定精确ε；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算：①若，则x1就是函数的零点；②若＜0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步.f(a)·f(b)＜0f(x1)f(x1)＝0f(a)·f(x1)f(b)·f(x1)＜01.下图的函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()解析：因为B选项中，x0两侧的符号相同，所以无法用二分法求交点的横坐标.答案：B2.若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题正确的是()A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C.函数f(x)在区间[2,16)上无零点D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点解析： 函数f(x)唯一零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，∴函数f(x)唯一零点必在区间(0,2)内.答案：C3.函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在的区间为()A.[0，]B.[，]C.[]D.[,1]解析：因为选项中只有f()·f()＜0，所以函数的零点所在的区间为[].答案：C4.已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且只有一个零点，则实数m的值为.解析：由题知：方程4x＋m·2x＋1＝0只有一个零点.令2x＝t(t>0)，∴方程t2＋m·t＋1＝0只有一个正根，∴由图象可知∴m＝－2.答案：－25.下列是函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值.x11.251.3751.40651.438f(x)－2－0.9840.260－0.0520.165x1.51.6251.751.8752f(x)0.6251.9822.6454.356由此可判断：方程f(x)＝0的一个近似解为(精确度0.1，且近似解保留两位有效数字).解析： f(1.438)·f(1.4065)＜0，且|1.438－1.4065|＝0.0315＜0.1，∴f(x)＝0的一个近似解为1.4.答案：1.4函数零点的存在性问题常用的方法有：(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断.(2)用定理：零点存在性定理.[特别警示]如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，但f(a)f(b)＜0不一定成立.(3)利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)图象，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点.判断下列函数在给定区间是否存在零点.(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]；(4)f(x)＝－x，x∈(0,1).[思路点拨][课堂笔记](1) f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点.(2) f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0，∴f(－1)·f(2)<0，故f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]存在零点.(3) f(1)＝log2(1＋2)－1>log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3
