第9讲曲线与方程第9讲曲线与方程基础梳理1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是(2)以这个方程的解为坐标的点都是．那么这个方程叫做，这条曲线叫做．这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程.(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．f(x，y)＝0公共解无解充要五种方法求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．2．(2012·泉州质检)方程x2＋xy＝x的曲线是()．A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线解析方程变为x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0.故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0.答案C4．(2012·福州模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．答案D5．(2011·北京)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12a2.其中，所有正确结论的序号是________．解析设动点M(x，y)到两定点F1，F2的距离的积等于a2，得曲线C的方程为x＋12＋y2·x－12＋y2＝a2， a＞1，故原点坐标不满足曲线C的方程，故①错误．以－x，－y分别代替曲线C的方程中的x、y，其方程不变，故曲线C关于原点对称，即②正确．因为S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤12|PF1||PF2|＝12a2，即面积不大于12a2，所以③正确．答案②③考向一直接法求轨迹方程【例1】►已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，如图所示．由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程．[审题视点]由已知条件找出等量关系，直接写出P点坐标满足的等式化简即得轨迹方程．解设P(x，y)，由圆O′的方程为(x－4)2＋y2＝6，及已知|AP|＝|BP|，故|OP|2－|AO|2＝|O′P|2－|O′B|2，则|OP|2－2＝|O′P|2－6.∴x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，∴x＝32，故动点P的轨迹方程是x＝32.直接法求曲线方程的一般步骤：(1)建立恰当的坐标系，设动点坐标(x，y)；(2)列出几何等量关系式；(3)用坐标条件变为方程f(x，y)＝0；(4)变方程为最简方程；(5)检验，就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性．考向二定义法求轨迹方程【例2】►一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．[审题视点]由曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．考向三参数法、相关点法求轨迹方程【例3】►已知抛物线y2＝4px(p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程．[审题视点]设出m点的坐标(x，y)后，直接找x，y的关系式不好求，故寻求其他变量建立x，y之间的联系．解设M(x，y)，直线AB方程为y＝kx＋b.由OM⊥AB得k＝－xy.由y2＝4px及y＝kx＋b消去y...
