第6节双曲线考纲展示考纲解读了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质.高考主要考查双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质，主要以选择题、填空题为主，属中低档题.(对应学生用书第128页)1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．质疑探究1：与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？提示：只有当2a<|F1F2|时，轨迹才是双曲线．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a>|F1F2|，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程及其简单几何性质质疑探究2：与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a、b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0
b>0时，10时，e＝2(亦称等轴双曲线)，当02.3．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝a2，其离心率e＝2，渐近线方程为y＝±x.1．双曲线x210－y22＝1的焦距为(D)(A)32(B)42(C)33(D)43解析：由双曲线方程得a2＝10，b2＝2，∴c2＝12.于是c＝23，2c＝43.故选D.2．(2010年高考安徽卷)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(C)(A)(22，0)(B)(52，0)(C)(62，0)(D)(3，0)解析：将双曲线方程化为标准形式x21－y212＝1，所以a2＝1，b2＝12，∴c＝a2＋b2＝62，∴右焦点坐标为(62，0)．3．(2010年巢湖第二次质检)设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1、F2、P(0,2b)是直角三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为(C)(A)2(B)3(C)233(D)322解析：由题意可知∠F1PF2＝90°，又|OP|＝2b，|F1F2|＝2c，所以c＝2b，c2＝4(c2－a2)，有4a2＝3c2，e2＝43，解得e＝233，故选C.4．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，双曲线恰好通过正三角形F1F2A两边F1A，F2A的中点，则双曲线的离心率为__________．解析：如图，双曲线恰好通过正三角形F1F2A两边F1A，F2A的中点，所以F2M⊥AF1，在Rt△MF1F2中，|F1F2|＝2c，∠MF2F1＝30°，∴|MF1|＝c，|MF2|＝3c，由双曲线的定义知：|MF2|－|MF1|＝2a，即3c－c＝2a.∴e＝ca＝3＋1.答案：3＋1(对应学生用书第129～130页)双曲线的定义及应用【例1】已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．思路点拨：由于椭圆过A，B两点，且以C、F为焦点，所以可利用椭圆的定义寻找点F所满足的关系．解：设F(x，y)为轨迹上的任意一点， A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋－52＝2，∴|FA|－|FB|＝2<14.由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，∴点F的轨迹方程是y2－x248＝1(y≤－1)．双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支．若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性．求双曲线的标准方程【例2】求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．思路点拨：首先根据题意设出所求双曲线方程，特别注意焦点在x轴、y轴的情况，然后由条件求出待定系数．解：(1)法一：经检验知双曲线焦点在x轴上，故设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由题意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，解得a2＝94，b2＝4，所以双曲线的方程为x294－y24＝1.法二：设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14.所以双曲线方程为x29－y216＝14，即x294－y24＝1.(2)法一：设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由题意易求得c＝25，又双曲线过点(32，2)，∴322a2－4b2＝1.又 a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y...
