基本不等式及其应用高考原题赏析(2014江苏14)若△ABC的内角满足CBAsin2sin2sin，则Ccos的最小值是.【解析】由正弦定理得22abc，2222222222231231()2242242cos22224ababababababcCabababab2231226242244abab当且仅当63ab时等号成立.一，学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．要点梳理1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a＋b22≤a2＋b22.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24(简记：和定积最大)．基础回顾1．ab，a2＋b22与(a+b2)2的大小关系是______________．ab≤(a+b2)2≤a2＋b222．已知函数f(x)＝12x，a、b∈(0，＋∞)，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A、B、C的大小关系是__________．A≤B≤C3．下列函数中，最小值为4的函数是______(填上正确的序号)．①y＝x＋4x；②y＝sinx＋4sinx(00，y>0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值；(2)已知x<54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．典例精析题型一：利用基本不等式求最值例1：(1)已知x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值；(2)已知x<54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．典例精析解法1：(1) x>0，y>0，1x＋9y＝1，∴y＝9xx－1=9＋9x－1，∴x＋y=x＋9x－1+9＝x-1＋9x－1+10解法2：(1) x>0，y>0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.当且仅当yx＝9xy时，上式等号成立，又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.题型一：利用基本不等式求最值例1：(1)已知x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值；(2)已知x<54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．典例精析(2) x<54，∴5－4x>0.y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－25－4x·15－4x＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.题型一：利用基本不等式求最值例1：(1)已知x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值；(2)已知x<54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．典例精析(3)方法1：由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴2y＋8x＝1. x>0，y>0，∴x＞8，x＋y＝x+2xx－8=(x－8)+16x－8+10≥2(x－8)·16x－8+10=18，当且仅当x－8＝16x－8，方法2：2x＋8y－xy＝0，得y=2xx－8即x＝12，y=6时取等号．解题反思1.利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立条件不具备而出错．2.对于分式结构的代数式最值，常采用部分分式(常数分离)，常数代换，分母换元，多元消元，分子分母同乘(同除)等方式变形.典例精析借题发挥1：(1)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．(2)当不等式组x≥0y≥0kx－y＋2－k≥0k<0所表示的区域的面积最小时，实数k的值为________．典例精析解(1) x＋2y＋2xy＝8，∴(x＋2y)＋(x＋2y2)2≥8，解得x＋2y≥4(x＋2y≤－8舍去)．当且仅当x＝2y=2，等号成立∴x＋2y的最小值为4.(2)不等式组表示的区域由如图，设围成区域的面积为S，则S＝12·|OA|·...
