2．4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法【课标要求】1．了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．2．会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．【核心扫描】1．二分法的原理．(重点、难点)2．二分法求变号零点结束条件的判断．(难点)自学导引1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求．f(a)f(b)<0一分为二逐步逼近为零点方程的近似解2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间[a，b]，使.(2)求区间(a，b)的中点，x1＝.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0，则；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈())；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈())．f(a)f(b)<0a＋b2x1就是函数的零点a，x1x1，b(4)继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．[an，bn][an，bn]试一试：若二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，有两根，其中一根在区间(－1,0)内，如何求m的取值范围？提示令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，则函数与x轴有两个交点，一根在(－1,0)内，则f(－1)·f(0)<0，可求得m的取值范围．想一想：函数f(x)在区间[a，b]上连续，若f(a)·f(b)>0，函数在[a，b]上一定有零点吗？提示不一定，可能没有零点，也可能有一个不变号零点，也可能有多个变号零点．名师点睛1．函数f(x)在区间[a，b]上的零点如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．(1)应用该方法只有判定在(a，b)上至少存在一个变号零点，但不能判断零点的个数．(2)若f(a)·f(b)>0，且函数在[a，b]上连续且单调，则函数y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点；(3)若f(a)·f(b)>0，且函数在[a，b]上不单调，则零点情况不确定．2．二分法(1)二分法的实质就是通过选取中点将区间一分为二逐次逼近．(2)在没有公式可用来求方程根时，可联系相关函数，用二分法求零点，用二分法求出的零点一般是零点的近似解．(3)并不是所有的函数都可以用二分法求零点，二分法只能求出函数的变号零点．不变号零点则不能用二分法求解．(4)用二分法求方程解的理论依据是：函数在某一个单调区间上有正值和负值，则必有零值．要想判断出某根所在区间我们需先画出方程所对应的函数的图象，除此之外，还应注意所找的区间应是函数的单调区间．如果方程所对应的函数的图象很难画出，我们可以将方程化为f(x)＝g(x)的形式(其中f(x)，g(x)的图象容易画出)，作出函数f(x)，g(x)的图象，此时，两个函数图象的交点的横坐标就是方程的解．可以通过图象找出根所在的大体区间，再用二分法求解．题型一判断函数零点所在区间【例1】用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．[思路探索]属于“二分法”思想判断区间．解析令f(x)＝x3－2x－5，可知f(2)＝－1，f(3)＝16.因为f(2.5)＝458>0，显然下一个有根的区间为(2,2.5)．答案：(2,2.5)规律方法函数f(x)在[a，b]内连续，f(a)·f(b)<0，则在[a，b]上一定有一变号零点．【训练1】判断下列方程在区间上是否存在零点．(1)2x＋2x＝0x∈(12，8)(2)x3－x－1＝0x∈[－1,2]解(1)令f(x)＝2x＋2x，则f(12)＝5>0，f(8)＝654>0，且f(x)＝2x＋2x在(12，8)上恒大于零，所以该方程在(12，8)上不存在零点．(2)令f(x)＝x3－x－1， f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0，∴f(－1)·f(2)<0，∴f(x)＝x3－x－1在[1,2]上存在零点．题型二二分法求函数零点近似解【例2】求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确度0.01)．[思路探索]用二分法求零点的步骤完成．解因为f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，所以存在x1∈(1,2)，使f(x1)＝0.用二分法逐次计算，列表如下...
