第5讲椭圆第5讲椭圆【2013年高考会这样考】1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题．2．考查椭圆的方程及其几何性质．3．考查直线与椭圆的位置关系．椭圆焦点焦距a＞ca＝ca＜c2．椭圆的标准方程和几何性质续表性质范围≤x≤≤y≤－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为；短轴B1B2的长为焦距|F1F2|＝2c离心率e＝∈a，b，c的关系c2＝2a2b(0,1)a2－b2－aa－bb三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．2．(2012·合肥月考)设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()．A．4B．5C．8D．10解析依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.答案D5．(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．解析根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)． e＝22，∴ca＝22，根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝22，所以椭圆方程为x216＋y28＝1.答案x216＋y28＝1考向一椭圆的定义【例1】►(2011·青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.[审题视点]关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用PF1→⊥PF2→，进而得解．椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．【训练1】已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()．A．23B．6C．43D．12解析由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，∴周长为4a＝43(F是椭圆的另外一个焦点)．答案C考向二求椭圆的标准方程【例2】►(1)求与椭圆x24＋y23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．[审题视点]用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定．运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可．【训练2】(1)求长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)的椭圆的标准方程．(2)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，求椭圆的方程．解(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)， 椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，a＝3， 2a＝3·2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，∴椭圆过点A(3,0)，∴02a2＋9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3·2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上所述，椭圆方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.(2)由△FMN为正三角形，则c＝|OF|＝32|MN|＝32×23b＝1.∴b＝3.a2＝b2＋c2＝4.故椭圆方程为x24＋y23＝1.考向三椭圆几何性质的应用【例3】►(2011·北京)已知椭圆G：x24＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．[审题视点](1)由椭圆方程可直接求出c，从而求出离心率．(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值．由y＝kx－m，x2...
