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高二数学 7.5 曲线和方程课件VIP免费

高二数学 7.5 曲线和方程课件_第1页
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定义(教材P68):在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(点不比解多)(纯粹性)(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.(解不比点多)(完备性)那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).在笛卡尔以前,人们对代数方程已经有了一定的研究,但是对于二元方程的研究较少,因为大家认识到二元方程f(x,y)=0的解都是不确定的.对于这种“不定方程f(x,y)=0”,除了有少数人研究它的整数解以外,大多数人都认为研究它是没有意义的,是不必要的.笛卡尔却对这个“没有意义的课题”赋予了新的生命,1.坐标法.他没有把x,y看成是未知数,而是创造性地把x看成是变量(从此,变量引入了数学),让x连续地变,则对每一个确定的x值,一般来说都可以从方程f(x,y)=0算出相应的y值(这就是函数思想的萌芽).然后,他把这些点的集合构成了一条曲线C.由这样得出的曲线C和方程f(x,y)=0有非常密切的关系:1.坐标法.曲线上每一个点的一对坐标都是方程的一个实数解;反之,方程的每一个实数解对应的点都在曲线上.这就是说,曲线上的点集和方程的实数解集具有一一对应的关系.这个“一一对应”的关系导致了曲线的研究也可以转化成对曲线方程的研究.1.坐标法.这种通过研究方程的性质,间接地来研究曲线性质的方法叫做坐标法(就是借助于坐标系研究几何图形的方法).根据几何图形的特点,可以建立不同的坐标系.最常用的坐标系是直角坐标系和极坐标系.在目前的中学阶段只采用了直角坐标系.1.坐标法.在数学中,用坐标法研究几何图形的知识形成的一门学科,叫解析几何.它是一门用代数方法研究几何问题的数学学科,产生于十七世纪初期.法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人.另一位法国数学家费马也是解析几何学的创立者.2.解析几何的创立意义及其基本问题他们创立解析几何,在数学史上具有划时代的意义:一是在数学中首次引入了变量的概念,二是把数与形紧密地联系起来了.解析几何的创立是近代数学开端的标志,为数学的应用开辟了广阔的领域.2.解析几何的创立意义及其基本问题(1)根据已知条件求出表示平面曲线的方程;(2)通过方程,研究平面曲线的性质.本节主要通过例题的形式学习第一个问题,即如何求曲线的方程.3.平面解析几何研究的主要问题.(1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件P的点M的集合;(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.4.求简单曲线方程的一般步骤:例1设A、B两点的坐标是(1,0)、(1,0),若kMAkMB=1,求动点M的轨迹方程.x2+y2=1(x±1)说明:所求的方程x2+y2=1后面应加上条件x±1.例2点M到两条互相垂直的直线的距离相等,求点M的轨迹方程.解:取已知两条互相垂直的直线为坐标轴,建立直角坐标系如图所示.设点M的坐标为(x,y),点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合RMQxOyP={M||MR|=|MQ|},例2点M到两条互相垂直的直线的距离相等,求点M的轨迹方程.其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足.RMQxOyP={M||MR|=|MQ|},因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值,所以条件|MR|=|MQ|可写成|x|=|y|,即x±y=0①(1)由求方程的过程可知,曲线上的点的坐标都是方程①的解;下面证明①是所求轨迹的方程.(2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解,那么x1±y1=0,即即x±y=0①|x1|=|y1|,而|x1|、|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离,因此点M1到这两条直线的距离相等,点M1是曲线上的点.由(1)(2)可知,方程①是所求轨迹的方程,图形如图所示.点评:建立适当的坐标系,能使求轨迹方程的过程较简单.所求方程的形式较“整齐”.x±y=0①RMQxOy练习1.点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,求点P的轨迹方程.y2=16x.2.过点P(2,4)作互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A,l2交y轴于B,求线段AB中点M的轨迹方程.x+2y5=0.PBMAxOy(1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐...

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