高二数学 7.5 曲线和方程课件VIP专享VIP免费

定义(教材P68)：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(点不比解多)(纯粹性)(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．(解不比点多)(完备性)那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形)．在笛卡尔以前，人们对代数方程已经有了一定的研究，但是对于二元方程的研究较少，因为大家认识到二元方程f(x，y)=0的解都是不确定的．对于这种“不定方程f(x，y)=0”，除了有少数人研究它的整数解以外，大多数人都认为研究它是没有意义的，是不必要的．笛卡尔却对这个“没有意义的课题”赋予了新的生命，1．坐标法．他没有把x，y看成是未知数，而是创造性地把x看成是变量(从此，变量引入了数学)，让x连续地变，则对每一个确定的x值，一般来说都可以从方程f(x，y)=0算出相应的y值(这就是函数思想的萌芽)．然后，他把这些点的集合构成了一条曲线C．由这样得出的曲线C和方程f(x，y)=0有非常密切的关系：1．坐标法．曲线上每一个点的一对坐标都是方程的一个实数解；反之，方程的每一个实数解对应的点都在曲线上．这就是说，曲线上的点集和方程的实数解集具有一一对应的关系．这个“一一对应”的关系导致了曲线的研究也可以转化成对曲线方程的研究．1．坐标法．这种通过研究方程的性质，间接地来研究曲线性质的方法叫做坐标法(就是借助于坐标系研究几何图形的方法)．根据几何图形的特点，可以建立不同的坐标系．最常用的坐标系是直角坐标系和极坐标系．在目前的中学阶段只采用了直角坐标系．1．坐标法．在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的一门学科，叫解析几何．它是一门用代数方法研究几何问题的数学学科，产生于十七世纪初期．法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人．另一位法国数学家费马也是解析几何学的创立者．2．解析几何的创立意义及其基本问题他们创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义：一是在数学中首次引入了变量的概念，二是把数与形紧密地联系起来了．解析几何的创立是近代数学开端的标志，为数学的应用开辟了广阔的领域．2．解析几何的创立意义及其基本问题(1)根据已知条件求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．本节主要通过例题的形式学习第一个问题，即如何求曲线的方程．3．平面解析几何研究的主要问题．(1)建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件P的点M的集合；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．4．求简单曲线方程的一般步骤：例1设A、B两点的坐标是(1，0)、(1，0)，若kMAkMB=1，求动点M的轨迹方程．x2+y2=1(x±1)说明：所求的方程x2+y2=1后面应加上条件x±1．例2点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程．解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系如图所示．设点M的坐标为(x，y)，点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合RMQxOyP={M||MR|=|MQ|}，例2点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程．其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足．RMQxOyP={M||MR|=|MQ|}，因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件|MR|=|MQ|可写成|x|=|y|，即x±y=0①(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；下面证明①是所求轨迹的方程．(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，那么x1±y1=0，即即x±y=0①|x1|=|y1|，而|x1|、|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离相等，点M1是曲线上的点．由(1)(2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如图所示．点评：建立适当的坐标系，能使求轨迹方程的过程较简单．所求方程的形式较“整齐”．x±y=0①RMQxOy练习1.点P到点F(4，0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求点P的轨迹方程．y2=16x．2.过点P(2，4)作互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程．x+2y5=0．PBMAxOy(1)建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐...