()会计算球、柱、锥台的表面积和体积不要求记忆公式．柱、锥、球的表面积与体积2222222312314433ShShRRhRhRRRhRhRR底底①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧【要点指南】1.棱长都是1的三棱锥的表面积为()A.3B.23C.33D.43【解析】S表面积＝4×34×1＝3，故选A.2.一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．48B．32＋817C．48＋817D．80【解析】由三视图可知几何体是底面为等腰梯形的直棱柱．底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为2×12(2＋4)×4＝24，四个侧面的面积为4(4＋2＋217)＝24＋817，所以几何体的表面积为48＋817.故选C.3.(2011·广东卷)如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为()A．43B．4C．23D．2【解析】该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积S＝12×2×23＝23，四棱锥的高为3，则该几何体的体积V＝13Sh＝13×23×3＝23.4.棱长为2的正方体的内切球的表面积为4π.【解析】依题意，正方体的内切球的半径为r＝1，所以表面积为S＝4πr2＝4π.5.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积是4π9l2.【解析】设圆锥的底面半径为r，则2πr＝2π3l，所以r＝l3，S表＝π×(l3)2＋π×l3×l＝4π9l2.一简单空间几何体的表面积与体积【例1】正四棱台AC1的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧面积和体积．【分析】由题意知，需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高，然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求得结论．【解析】如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O、E1E、O1E1、OE，则四边形OEE1O1都是直角梯形，过E1作E1G⊥OE.因为A1B1＝4cm，AB＝16cm，所以O1E1＝2cm，OE＝8cm，所以E1E2＝O1O2＋(OE－O1E1)2＝325cm2，所以E1E＝513cm.S四棱台侧＝4S梯形ABB1A1＝4×(4＋16)×513×12＝20013cm2V四棱台＝13(4×4＋4×4×16×16＋16×16)×17＝1904cm3答：这个棱台的侧面积是20013cm2，体积为1904cm3.【点评】求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它们是架起“求积”关系式中的未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的“桥梁”．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积．素材1【解析】如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，所以AC＝3R，BC＝R，CO1＝32R，所以S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×32R×3R＝32πR2，S圆锥BO1侧＝π×32R×R＝32πR2，所以S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝112πR2＋32πR2＝11＋32πR2，所以旋转所得到的几何体的表面积为11＋32πR2.又V球＝43πR3，V圆锥AO1＝13·AO1·πCO21＝14πR2·AO1V圆锥BO1＝13BO1·πCO21＝14BO1·πR2，所以V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝43πR3－12πR3＝56πR3.二割补法与等积变换法【例2】如图所示，ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝32，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A.92B．5C．6D.152【分析】将几何体恰当分割→求分割后的几何体体积→得答案.【解析】方法1：可利用排除法来解决，棱锥E－ABCD的体积V1＝13×32×2＝6，而此多面体的体积V>V1，故选D.方法2：如图所示，连接EB、EC.四棱锥E－ABCD的体积为VE－ABCD＝13×32×2＝6.由于AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF.所以VF－BEC＝VC－EFB＝12VC－ABE＝12VE－ABC＝32，所以VEF－ABCD＝VE－ABCD＋VF－BEC＝6＋32＝152.方法3：如图所示，设G、H分别为AB、CD的中点，则EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC，得三棱柱EGH－FBC，得VE－AGHD＝13SAGHD×2＝13×3×32×2＝3.VEGH－FBC＝3VB－EGH＝3×12VE－GBCH＝32VE－AGHD＝32×3＝92.所以VEF－ABCD＝VE－AGHD＋VEGH－FBC＝152.【点评】解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法：1°几何体的“分割”依据已知几何体的特征，将其分割成若干个易于求体积的几何体，进而求解．2°几何体...
