高考数学第一轮总复习 第39讲 基本不等式课件 文 (湖南专版) 课件VIP免费

掌握基本不等式，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.2222____________________.()2__________(=)()()______________)_.(12abababababab为实数①写②③当仅当来积积别条满④R如果，，，那么，注意也可成基本均值不等式：如果，，那么且取“”．注：基本均值不等式可以用求最值定和小，和定大，特要注意基本均值不等式件需足：222221__________0(“”)2__________22__________()11().22abababbaababababababababab推广：⑤当且仅当时取；推广：，，⑥⑦当且仅当仅当时取“”即平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数．注意关于的两种变形，R2222ababababab①；②；③；④一“正”、二“定”、三“相等”；⑤；⑥；【指南】⑦要点1.在下列各函数中，最小值等于2的函数是()A．y＝x＋1xB．y＝cosx＋1cosx(00，b>0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()A.12B．1C．2D．4【解析】由已知得a＋2b＝2，又因为a>0，b>0，所以2＝a＋2b≥22ab，所以ab≤12，当且仅当a＝2b时取“＝”．3.(2011·上海卷)若a、b∈R，且ab>0，则下列不等式中恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2abC.1a＋1b>2abD.ba＋ab≥2【解析】由基本不等式的条件“一正二定三相等”求最值，易知只有D全满足．4.(2011·浙江卷)若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为233.【解析】由题意x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤(x＋y2)2，要求x＋y的最大值，则x>0，y>0，则(x＋y)2≤43，所以x＋y≤233.5.当x>1时，函数f(x)＝x＋1x－1有最小值为3.【解析】因为f(x)＝(x－1)＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝3，当且仅当x－1＝1x－1x>1，即x＝2时有最小值为3.一利用基本不等式求最值【例1】(1)设00，y>0，且x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．【分析】(1)属“积大”问题，可直接应用基本不等式；(2)属“和小”问题，要分拆，使积一定，即3a－4＋a＝3a－4＋(a－4)＋4.(3)注意逆代．因为1＝x＋y，所以8x＋2y＝(8x＋2y)(x＋y)．【解析】(1)因为02>0，所以y＝3x8－3x≤3x＋8－3x2＝82＝4.当且仅当3x＝8－3x，即x＝43时，取等号．所以当x＝43时，y＝3x8－3x的最大值是4.(2)显然a≠4.当a>4时，a－4>0，所以3a－4＋a＝3a－4＋(a－4)＋4≥23a－4×a－4＋4＝23＋4，当且仅当3a－4＝a－4，即a＝4＋3时取等号．当a<4时，a－4<0.所以3a－4＋a＝3a－4＋(a－4)＋4＝－[34－a＋(4－a)]＋4≤－234－a×4－a＋4＝－23＋4.当且仅当34－a＝4－a，即a＝4－3时，取等号．所以3a－4＋a的取值范围是(－∞，－23＋4]∪[23＋4，＋∞)．(3)因为x>0，y>0，且x＋y＝1，所以8x＋2y＝(8x＋2y)(x＋y)＝10＋8yx＋2xy≥10＋28yx·2xy＝18.当且仅当8yx＝2xy，即x＝2y时等号成立．所以，当x＝23，y＝13时，8x＋2y有最小值18.【点评】(1)合理拆分或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．(3)对于基本不等式，不仅要记住原始公式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等．如2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)．若x∈[0,1]，求函数y＝3x8－3x的最大值．素材1【解析】由例1(1)的解答知，当x∈[0,1]时，函数的最大值不能用基本不等式．因为y＝－9x2＋24x＝－9x－432＋16(x∈[0,1])，所以函数在[0,1]上单调递增，所ymax＝15.二利用基本不等式证明不等式【例2】(2010·铜陵模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：(1)1a＋1b≥4；(2)a＋12＋b＋12≤2.【分析】条件不等式，关...