第六节空间直角坐标系分析解答本题可根据长方体的特征，建立适当的空间直角坐标系，然后对特殊点，可直接写出坐标，对于非特殊点，可找出它在xOy平面上的射影以确定其横、纵坐标，再找出它在z轴上的射影以确定其竖坐标．解如图所示，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系． 长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)；C在y轴上，∴C(0,5,0)；D1在z轴上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，∴B1的横坐标为3，纵坐标为5. B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，∴B1的坐标为(3,5,4)．规律总结(1)建立空间直角坐标系时，应遵循以下原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．变式训练1右图为一个正方体截下的一角P－ABC，|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，建立如图坐标系，则△ABC的重心G的坐标为________．【解析】【答案】3,3,3bca.3,3,3,0,,0,,0,0,0,0,bcaGABCcCbBaA的坐标为重心的空间点的对称问题求点A(1,2，－1)关于x轴及坐标平面xOy的对称点B、C的坐标，以及B、C两点间的距离．分析通过点A向x轴及平面xOy作垂线，然后再写坐标．解过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使NB＝AN，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)．过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使CM＝AM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1)．∴A(1,2，－1)关于x轴的对称点为B(1，－2,1)，A(1,2，－1)关于坐标平面xOy的对称点为C(1,2,1)，.4112211222BC规律总结(1)关于哪条轴对称，则哪个坐标不变；另两个坐标变为原来坐标的相反数；(2)关于原点对称，三个坐标都变为原坐标的相反数．变式训练２在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,5,6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为()A．(4,0,6)B．(－4,5，－6)C．(－4,0，－6)D．(－4,5,0)【答案】C【解析】点关于y轴的对称点应该是x、z坐标与原坐标互为相反数，y坐标不变，点在平面xOz上的射影应该是x、z坐标不变，y坐标变为0.空间两点间的距离公式的简单应用(12分)如图所示，已知点A(1,1,0)，对于z轴正半轴上任意一点P，在y轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB恒成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由．分析假设存在满足题设条件的点．依据PA⊥AB，得到PA2＋AB2＝PB2；再由两点间距离公式，得关于待求量的方程；解方程，若有解，则存在，若无解，则不存在．解设P(0,0，c)，B(0，b,0)，对于z轴正半轴上任意一点P，假设在y轴上存在一点B，使得PA⊥AB恒成立，则|PA|2＋|AB|2＝|PB|2，……………………3分∴[(0－1)2＋(0－1)2＋(c－0)2]＋[(1－0)2＋(1－b)2＋(0－0)2]＝(0－0)2＋(0－b)2＋(c－0)2，………6分即3＋(b－1)2＝b2，…………………………………8分解得b＝2，…………………………………………10分∴存在这样的点B，当点B坐标为(0,2,0)时，PA⊥AB恒成立…………………………………………………12分规律总结在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题．此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹．其核心就是利用两点间的距离公式，建立等量关系或方程．变式训练３已知三点A(－1,1,2)，B(1,2，－1)，C(a,0,3)，是否存在实数a，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解析】 |BC|>|AB|，∴若A，B，C三点共线，有|BC|＝|AC|＋|AB|或|AC|＝|BC|＋|AB|，若|BC|＝|AC|＋|AB|，整理得5a2＋18a＋19＝0，此方程无解；若|AC|＝|BC|＋|AB|，整理得5a2＋18a＋19＝0，此方程无解．∴不存在实数a，使A、B、C共线．,20131021,2132011,1412211122222222222...
