10.3定积分及其应用知识梳理t57301p21.定积分的有关概念：把叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作,即.其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.1lim()ninibafnx®¥=-å()bafxdxò1()lim()nbinaibafxdxfnx®¥=-=åò2.定积分的几何意义：如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)≥0，那么定积分表示由直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.()bafxdxò3.定积分的物理意义：（1）以速度v＝v(t)作变速直线运动的物体，在a≤t≤b时段内行驶的路程()basvtdt=ò（2）如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a＜b)，则变力F(x)所作的功()baWFxdx=ò4.定积分的运算性质：（1）；()()bbaakfxdxkfxdx=òò（2）[()()]()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx±=±òòò（3）.()()()cbbacafxdxfxdxfxdx+=òòò5.微积分基本定理：如果f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且，则()()Fxfx¢=()()()bafxdxFbFa=-ò拓展延伸1.用极限逼近原理求曲边梯形面积是定积分的实际背景，其基本思路是：分割→近似替代→求和→取极限.2.定积分是一个特定形式和的极限，其几何意义是曲边梯形的面积，定积分的值由被积函数，积分上限和下限所确定.3.在实际问题中，定积分可以表示面积、体积、路程、功等等，求定积分的值有定义法、几何法、定理法三种，有时利用定积分的性质进行计算，能简化解题过程.4.位于x轴下方的曲边梯形的面积，等于相应定积分的相反数.一般地，由直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积|()|baSfxdx=ò5.由直线x＝a，x＝b(a＜b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积|()()|baSfxgxdx=-ò考点分析考点1定积分的基本运算例1计算下列定积分：（1）；20(1)xxdx+ò（2）；2211()xedxx+ò（3）；20sinxdxpò（4）；320|1|xdx-ò（5）.11lnexdxx-ò例2计算下列定积分：（1）(b＞a)；()()baaxxbdx--ò（2）.535(34||sin)xxxdx【解题要点】确定被积函数的原函数→对被积函数作适当变形→将定积分转化为求曲边梯形的面积.考点2利用定积分概念求极限值例3求下列极限值：（1）12(1)lim[sinsinsin]nnnnnn（2）1111lim()1232nnnnn【解题要点】构造特定形式和→确定被积函数和积分区间→用定积分表示极限.考点3定积分中参数的取值问题例4(08年山东卷）设函数，若，0≤x0≤1，则x0的值为.2()(0)fxaxca=+¹100()()fxdxfx=ò例5设f(x)＝kx＋b，已知，且，求k的取值范围.10()1fxdx=ò120()4fxdx<ò【解题要点】求相关定积分值→利用方程或不等式思想分析参数取值.考点4定积分中的函数问题例6求函数的值域.0()sin(1cos)xfxttdt=+ò例7已知函数(x＞1)，试推断函数f(x)是否有零点.12ln()(1)2xtfxdtt【解题要点】求积分函数的解析式→据有关原理分析函数性质.考点5用定积分求平面图形的面积例8求直线y＝x＋3与曲线y＝x2－2x＋3所围成图形的面积.例9求直线y＝x－4与曲线y2＝2x所围成图形的面积.例10如图，曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a＞1)交于点O，A，直线x＝t(0＜t≤1)与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连结OD，DA，AB.设a为常数，当t变化时，求曲边四边形ABOD的面积S的最大值.xyOABD例11若过原点的直线l与曲线C：y＝x2－4x(x≥0)所围成图形的面积为36，求直线l的方程.【解题要点】作几何直观图选择面积算法→确定积分变量、被积函数和积分区间→将非规则曲边梯形分割或补形为规则曲边梯形→对多边形面积直接套公式求解.例12两车站A，B相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s.从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，求：（1）A，C两点间的距离；（2）B，D两点间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间.考点6定积分在物理中的应用例13作直线运动的物体在t秒内所经过的路程x＝4t2(m)，若介质的阻力与速度成正比，且速度为10m/s时，阻力位2N，求物体从x＝0到x＝2阻力所作的功.【解题要点】路程的被积函数是速度对时间的函数→力所作的功的被积函数是力对位移的函数.
