§9.8曲线与方程基础知识自主学习要点梳理1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是.(2)以这个方程的解为坐标的点都是那么这个方程叫做，这条曲线叫做．这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．公共解无解充要[难点正本疑点清源]1．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．2．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．基础自测1.直角坐标平面xOy中，若定点A（1，2）与动点P（x,y）满足OP→·OA→＝4，则点P的轨迹方程是____________．x＋2y－4＝0解析OP→·OA→＝x+2y=4，即点P的轨迹方程为x+2y=4=0．2.已知点A（-2，0）、B（3，0），动点P（x,y）满足PA→·PB→＝x2-6,则点P的轨迹是.抛物线解析PB→＝(3－x，－y)，PA→＝(－2－x，－y)，∴PA→·PB→＝(3－x)(－2－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2＝x.∴点P的轨迹是抛物线．3．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是．以N为端点，以x轴的正方向为方向的射线解析 |PM|－|PN|＝4＝|MN|，∴P的轨迹是以N为端点，以x轴的正方向为方向的射线．4．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示一条()A．过点P且垂直于l的直线B．过点P且平行于l的直线C．不过点P但垂直于l的直线D．不过点P但平行于l的直线B解析 P(x0，y0)不在直线l上，∴f(x0，y0)≠0.∴方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的直线与l平行．又f(x0，y0)－f(x0，y0)＝0.∴点P(x0，y0)在方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的直线上，即直线过P点．5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9πB解析设P(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，得(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆．∴所围成的图形的面积等于π·22＝4π.题型分类深度剖析题型一直接法求轨迹方程例1已知M（4，0），N（1，0），若动点P满足MN→·MP→＝6|NP→|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l：x＋2y－12＝0的距离的最小值．思维启迪：设动点坐标，列式化简即可．解(1)设动点P(x，y)，则MP→＝(x－4，y)，MN→＝(－3,0)，PN→＝(1－x，－y)，由已知得－3(x－4)＝61－x2＋－y2，化简得3x2＋4y2＝12，即x24＋y23＝1.∴点P的轨迹方程是椭圆C：x24＋y23＝1.(2)由几何性质意义知，椭圆C与平行于l的切线l′的距离等于Q与l的距离的最小值．设l′：x＋2y＋D＝0.将其代入椭圆方程消去x，化简得：16y2＋12Dy＋3(D2－4)...
