【考纲下载】掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.第3讲二项式定理1．二项式定理及特征(1)定理：公式(a＋b)n＝.(nN*)∈所表示的定理，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的．(2)项数：二项展开式共有项．二项展开式n＋1(3)通项公式：(a＋b)n的二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用表示，则有.【思考】(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，它们展开式的第r＋1项相同吗？答案：不相同．前者是Tr＋1＝，后者是Tr＋1＝，a与b不能随便交换．(4)二项式系数：二项展开式第r＋1项的二项式系数为.提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．2．二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端的两个二项式系数相等，即(2)增减性与最大值：二项式系数，当k＜时，二项式系数是；当k>时，二项式系数是．当n是偶数时，取得最大值．当n是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值．等距离递增的递减的(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于，即＝.(4)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于，即＋…＝＝.2n2n奇数项的二项式系数的和2n－1提示：二项式系数最大项必定是中间项，而系数最大的项就不一定是中间项．如果求系数最大的项，往往需要通过解不等式组来处理，但当二项式系数与各项系数只有正负差别时，可考虑系数最大项必在正数项中选择，简化计算．1．(2009·北京卷)若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝()A．33B．29C．23D．19解析：由二项展开式可得(1＋)4＝＝∴a＝17，b＝12，a＋b＝29.答案：B2．在10的展开式中，x4的系数为()A．－120B．120C．－15D．15解析：设10的展开式中，第r＋1项含x4，Tr＋1＝∴10－2r＝4⇒r＝3.∴＝－15.答案：C3．在的展开式中，则含x的正整数次幂的项共有()A．4项B．3项C．2项D．1项解析：由已知得：，由于0≤r≤12，故当r＝0,6,12时，即展开式第1,7,13项均含x的正整数次幂．答案：B4．(2009·全国卷Ⅰ)(x－y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________．解析：则x7y3与x3y7的系数之和为＝－240.故填－240.答案：－240求展开式中的特定项，一般先求出展开式的通项式，整理成变量的指数的形式，然后令指数为所求系数的指数，若求常数项，令指数为零，即可求出对应的项数，进而可以求出对应常数项的值．(2009·四川卷)的展开式的常数项是________．思维点拨：利用求．解析：展开式的通项公式Tr＋1＝＝.当6－2r＝0即r＝3时，此二项展开式的常数项为＝－20.答案：－20【例1】在(1－x)6(2－x)的展开式中，x3的系数是()A．－25B．25C．－55D．55解析：x3的系数是二项式(1－x)6展开式中x3项的系数乘以2与x2项的系数的相反数的和，由此可得x3的系数是答案：C变式1：在某些二项展开式中，项的系数和二项式系数有密切联系(如相同或相反)，因此，某些展开式中项的系数的最值问题可转化为二项式系数的最大值问题来解．已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．思维点拨：根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数的绝对值最大问题需要列不等式组求解．【例2】解：由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5.(1)由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大．即＝252.(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大， Tr＋1＝∴得即解得 r∈Z，∴r＝3，故系数的绝对值最大的是第4项，已知中，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中的二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．变式2：解：(1)因为.所以n2－21n＋98＝0，所以n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.所以T4的系数为；T5的系数为当n＝14时，二项式系数最大的项是T8，所以T8的系数为(2)由＝79，可得n＝12(n＝－13舍)，设Tk＋1...
