3第8节一般周期函数的傅里叶级数在第7节我们已经直接讲了一般周期为的周期函数的傅立叶级数。这节我们只需指出：（1）当时，周期函数的傅立叶级数就是周期函数的傅立叶级数；（2）如果是一般周期为的函数，作变量代换：或,就变成了周期为的函数把按周期展开成傅里叶级数，再代回，就得到周期函数的傅立叶级数。8离散数学【例8.1】设是周期为的周期函数，它在上的表达式为,将它展开成傅立叶级数．解。其傅立叶系数为,,．根据收敛定理，有,因此，的傅立叶展开式为的傅立叶级数展开式的和函数的图象如下：【例8.2】将函数展开成正弦级数和余弦级数．解。将作奇延拓，得到函数，且,再将以4为周期进行周期延拓，便可获到一个以4为周期的周期函数，其图象如图8.2所示：Oxy图8.112462-4-6-7第1章集合其傅立叶系数为,,由于函数在处间断，故的正弦级数展开式为,．再将作偶延拓，得到函数，且,将以4为周期进行周期延拓，便可获到一个以4为周期的周期函数，其图象如下：其傅立叶系数为,,,由于函数在上连续，故的余弦级数展开式为,．如果令，得Oxy图8.22462-4-6-Oxy图8.32462-4-6-8离散数学，即．对定义在任意区间上的函数，也可将它展开成傅立叶级数，其方法如下：作变量替换（黑板上一步步找此变换），即，当时，，将函数变成函数,可将按周期展开成傅立叶级数，再代回，就得到周期的傅里叶级数．【例8.3】将函数展开成傅立叶级数．解作变量替换，当时，则，而将以为周期进行周期延拓，可得到一个周期函数，其图象如下：其傅立叶系数为,,显然，点是函数的间断点，函数在其它点均连续，故的傅立叶展开式为．将代入上式，得周期的傅里叶级数Ot()Ftpp-图8.42p2p-3p3p-5-57第1章集合．习题13-8A类1.将下列周期函数（已给出函数在一个周期内的表达式）展开成傅立叶级数：(1)；(2)；(3)；(4)．2．将函数展开成正弦级数．3.将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.B类1.将函数，（）展成的傅立叶级数，并求级数的和．2.证明：在上有，并由此证明：．证要证等式右边是余弦级数。把偶延拓。傅里叶系数周期延拓后无间断点。所以在上有。令得。故。*3．将函数展开成傅立叶级数．
