如东县马塘中学高一年级数学学科暑假作业7月19日姓名学号函数的奇偶性——单纯奇偶性问题比较简单，高考题中多把奇偶性与单调性、周期性、反函数及图象变换联系，综合命题一、知识梳理1.函数的奇偶性的定义：由定义知：定义域必关于原点对称；2.奇偶函数的性质：偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；这也是判奇偶函数的依据；3.若奇函数f(x)的定义域包含，则f(0)=0；f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)4.判断函数的奇偶性，先看定义域，再看是否f(-x)=±f(x或等价形式：，5.设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇6.若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y=f[g(x)]是偶函数．7.奇偶性与单调性奇函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相同。偶函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相反。二、自我检测1.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是(填奇偶性）奇函数2.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)<0的x的取值范围是(2,2)3.已知是R上的奇函数，则a=由f(0)=0得a=1；4.已知函数f(x)是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x∈(－∞,0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0.+∞)时，f(x)=.5.已知y=f(x)是偶函数，且在上是减函数，则f(1－x2)是增函数的区间是画出u=1-x2的图象，在[-1，1]上，u≥0,其它u<0,在结合f(x)的单调性可得f(1-x2)的单1调区间为；6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在上递减，7.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的序号是③8．判断下列函数的奇偶性：方法步骤：判断奇偶的方法及应注意的问题——先看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)=±f(x)或等价形式：，(1)f(x)＝lg(-x);(2)f(x)＝+(3)f（x）=解：(1)此函数的定义域为R.∵f(-x)+f(x)＝lg(+x)+lg(-x)＝lg1＝0∴f(-x)＝-f(x)，即f(x)是奇函数。(2)此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。（3）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数f（x）为奇函数.9．设奇函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)且在(0，+∞)上单调递增，f(1)＝0，解不等式：f［x(x-)］＜0解：∵奇函数f(x)在(0，+∞)上递增∴f(x)在(-∞，0)上单调递增又f(-1)＝-f(1)∴f(-1)＝f(1)＝0∴当x∈(-1，0)∪(1，+∞)时f(x)＞0当x∈（-∞，-1）∪(0，1)时f(x)＜0∴又x(x-)=(x-)2-≥-＞-1欲使f〔x(x-)〕＜0成立，则必有2x·(x-)∈(0,1),即0＜x(x-)＜1,解之得：＜x＜0或＜x＜提炼方法：注意数形结合,由图象易得解.10:定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=－x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．令y=－x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R都成立．令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．令f(t)=t2－(1+k)t+2,其对称轴当时,f(0)=2>0,符合题意;当时,对任意t>0,f(t)>0恒成立3综上所述,所求k的取值范围是三.小结与反思:1.函数的奇偶性的概念、性质及特征：2.判断函数的奇偶性的方法：先看定义域，再看是否f(-x)=±f(x)或等价形式—3.奇偶函数运算或复合后的奇偶性4
