浙江省台州高二数学教研会资料(一道高考题解法的探究)课件新人教A版 课件VIP免费

一道高考题解法的探究•08年浙江卷（理科）17题若，且当时，恒有则以为坐标的点所形成的平面区域的面积等于＿＿＿＿0,0ab0,x0,y1xy1,axby,ab(,)Pab•析题：本题知识点：线性规划问题、恒成立问题、区域面积问题思想方法：化归与转化、分类与整合、数形结合难点：三类问题的结合，学生很难把握，见得少，而且联系难此题主要考查学生思维的灵活性、多样性，以及综合运用知识分析、解决问题的能力。此题主要从两方面:一是将不等式恒成立问题转化成函数的最值问题；二是将区域面积转化成字母取值范围问题。解题的切入点是紧扣已知条件，落脚点是确定a,b的取值范围。"1"axby恒成立•解法1目标函数法设目标函数，当时，故只需当则由的约束条件作出可行域（如图），若则在A点取得最大值，若则在B点取得最大值，若，则综上故所求区域面积zaxby解法探究0abmax,zab或1a或b1;00abz时，令,ayxb,xy1,abzmax1;zb1,abzmax1;za1abmax1.zb01,a01,b1.S01BA1根据目标函数的几何性质，通过数形结合寻找最优解，这是解决线性规划问题的常规方法。但本题的目标函数含有两个参数a,b，需要分类讨论确定函数最值，有一定的难度。如图，画出点的可行域，因为恒成立，即在可行域中恒成立，则否则可行域中总存在不满足题意的点。故点所形成的平面区域为边长1的正方形，其面积(,)Mxy解法2解析法1axby111xyab1111,ab且01,a01,b(,)Pab1.S01BA1•解析法是处理线性规划问题最常用、有效的方法，在坐标轴上两个截距的构造，将可行域与恒成立问题统一起来，从而使问题得以解决，截距的构造是解题的关键。11,ab•设当时，当时，所以即点P（a,b）所形成的平面区域为边长1的正方形，其面积S=1.220cos,0sin,xy解法3三角换元法ab22222maxcossincos(1cos)()cos,1.axbyabababbabbazaab22222maxcossin(1sin)sin()sin,1.axbyababbaabaabzb01,a01,b•此题的难点也在于变量太多，通过三角换元，可以减少变量，降低题目的难度。同时借助三角函数的有界性，可以确定点P所形成的平面区域。•设向量则（为两向量的夹角），当向量在上的投影最大时，取最大值。由的约束条件作出可行域（如图）。若当点N为可行域的点B时，最大，此时若当点N为可行域的点A时，最大，此时若综上故所求区域面积S=1.(,),(,),OMabONxy�解法4向量法22cosaxbyOMONabON�ON�OM�cosON�axby,xy1,bacosON�max1,0,();xyaxbya1,bacosON�max0,1,();xyaxbyb1,bamax();axbyab或01,a01,b01BA1MN•此题在没有向量存在的的情境下，很难将看作是两向量的数量积，这是创新意识诱导下的一种很独特的数学视角。向量法充分运用向量数量积的代数与几何特征，借助向量数量积的几何意义，巧妙地将求目标函数最值的代数问题转化为几何问题，很好地展示了向量在解决数学问题中的重要工具作用。axby•由柯西不等式得：当且仅当时，成立；由图可知，当且仅当故当且仅当时，两个同时成立，∴当此时当此时综上故所求区域面积S=1.2222()(),axbyabxy解法5柯西不等式aybx""221,xy1,x00,1yxy或时,"="成立.222222()()axbyabxyabaybx221xy""1,00,xyb时，max();axbya0,10,xya时，max().axbyb01,a01,b•用柯西不等式解决的最值问题是一种新思路、新方法，柯西不等式历史悠久，形式优美，结构巧妙，它和基本不等式一样都是研究最值问题的有力工具。柯西不等式的应用灵活多样、技巧性强，它的应用有利于学生开阔数学视野、培养创新思维，激发学生进一步学习数学的兴趣。axby•通过一题多解教学，要让学生在掌握基础知识、基本方法、基本技能的前提下，学会从多个角度提出新颖独特的解决问题的方法，培养他们解决问题的实践能力，发展他们的创新思维，使他们具有敏锐的观察力、创造性的想象、独特的知识结构以及活跃的灵感等...