第二节命题及其关系、充分条件与必要条件考纲解读1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．考向预测1．充分必要条件的判断和四种命题及其关系是高考考查的热点．2．多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属中、低档题目．知识梳理1．命题的概念可以，用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为的语句叫真命题，判断为的语句叫假命题．判断真假真假2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题否命题逆否命题若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性相同没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的4．特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论．充分条件必要条件．充要条件．基础自测1.(2011·陕西理，1)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b•[答案]D•[解析]本小题考查逆命题的写法．条件与结论互换．2．(2011·湖南文，3)“x>1”是“|x|>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案]A[解析]本题主要考查了充要条件．判定不是充分(或必要)条件，可用“举例法”．当x>1时一定有|x|>1成立，而|x|>1时不一定有x>1，如x＝－5.所以“x>1”⇒“|x|>1”而“|x|>1”⇒/x>1.3．(文)全称命题“任意的x∈R，x2＋5x＝4”的否定是()A．存在x∈R，x2＋5x＝4B．任意x∈R，x2＋5x≠4C．存在x∈R，x2＋5x≠4D．以上都不正确[答案]C[解析]全称命题“∀x∈M，P(x)”的否定是“∃x∈M，綈P(x)”，故得知C正确．(理)(2012·银川模拟)关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是()A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真[答案]D[解析]本题考查四种命题之间的关系及真假判断．对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题，故选D.4．(文)(2011·福建理，2)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]A[解析]本题主要考查充分与必要条件．由a＝2可推出(a－2)(a－1)＝0，反之由(a－2)(a－1)＝0可得a＝2或a＝1，故选A.(理)设正数a，b，c，则“2b＝a＋2c”是“b2≥4ac”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]2b＝a＋2c≥22ac，平方得b2≥4ac，但反之无法推出，故是充分而不必要条件．5．命题“如果x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆否命题为________．[答案]如果x≠2或y≠－1，则x－2＋(y＋1)2≠06．设有如下三个命题：甲：m∩l＝A，m，lα，m，lβ；乙：直线m，l中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的__________条件．[答案]充要[解析]由题意乙⇒丙，丙⇒乙．故当甲成立时乙是丙的充要条件．7．(2012·淮阳模拟)判断命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题的真假．[解析] m>0，∴4m>0，∴4m＋1>0. 方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝4m＋1>0，因而方程x2＋x－m＝0有实数根，∴原命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为真．[例1]把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、...
