高二数学：11.1(直线的点法向式方程和直线的一般式方程)课件(沪教版下) 课件VIP免费

直线的点法向式方程和直线的一般式方程朱敏慧朱敏慧上海市控江中学上海市控江中学问题1：确定一条直线须具备哪些条件?在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个点、一个点和一个平行方向，再如一个点和一个垂直方向。问题2：已知一个向量),(ban,一条直线l经过00,yxP点,且nl,写出直线l的方程.设直线l上任意一点Q的坐标为(,)xy，由直线垂直于非零向量n，故PQn�。根据PQn�的充要条件知0nPQ，即：00()()0axxbyy⑤；反之，若11(,)xy为方程⑤的任意一解，即1010()()0axxbyy，记11(,)xy为坐标的点为1Q，可知1PQn�，即1Q在直线l上。综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l的方程，直线l是方程⑤的直线。我们把方程⑤叫做直线l的点法向式方程。从上面的推导看，法向量n是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量。若直线的一个方向向量是),(vu，则它的一个法向量是),(uv。例1已知点4321，，，BA，求AB的垂直平分线l的点法向式方程。例2已知点)2,1(),6,1(BA和点)3,6(C是三角形的三个顶点，求（1）BC边所在直线方程；（2）BC边上的高AD所在直线方程。巩固练习练习11.1（2）直线的一般式方程问题1：直线的点法向式方程点和点方向式方程是否都可以化成一个关于yx,的二元一次方程0cbyax（a，b不同时为0）？反之一个关于yx,的二元一次方程0cbyax（a，b不同时为0）是否是直线的方程？由直线的点法向式方程00()()0axxbyy整理得00()0axbyaxby，令c00()axby，即可把点法向式方程化为二元一次方程0axbyc，其中,0ab不全为，由此我们知道直线的方程一定是二元一次方程。反之，任意二元一次方程0axbyc(,0)ab不全为都是直线方程么？回答是肯定的。首先，当0b时，方程可化为()0caxbyb，根据直线点法向式方程可知，这是过点(0,)cb，以(,)ab为一个法向量的直线；当0b时，方程为0axc，由于0a，方程化为cxa，表示过点(,0)ca且垂直于x轴的直线。所以二元一次方程0axbyc(,0)ab不全为是直线的方程，叫做直线的一般式方程。从上述推导可见，(,)ab是一个法向量。同样也是可以由方程00()()vxxuyy整理得00()0vxuyvxuy，只需令00,,avbucuyvx即可得到直线一般式的形式，反之易得。在上面的过程中会注意到,avbu，前面证明了二元一次方程0axbyc(,0)ab不全为的系数组成的向量(,)ab是一个法向量，那么(,)(,)uvba是直线的一个方向向量。问题2：我们可以证明一次函数以及常值函数的图像是一条直线，那么，坐标平面内任意一条直线的方程是否一定可以用方程ykxb（其中kbR,）来表示呢？与x轴垂直的直线不可以用方程ykxb（其中kbR,）来表示例1ABC中，已知)2,1(A、)4,3(B，求AB边的中垂线的一般式方程。例2（1）求过点(2,5)A且平行于直线1:4390lxy的直线方程；（2）求过点(3,4)B且垂直于直线2:3760lxy的直线方程。例3能否把直线方程0532yx化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察x、y的系数与方向向量和法向量有什么联系？变式：直线0cbyax的方向向量可以表示为？直线0cbyax的法向量可以表示为？巩固练习练习11.1（3）