§5导数及其应用(一)真题热身1．(2011·重庆)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为()A．y＝3x－1B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5D．y＝2x解析 y′＝－3x2＋6x，∴y′|x＝1＝3.∴曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.A2．(2011·福建)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9解析f′(x)＝12x2－2ax－2b， f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.D3．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析由题意知x＞0，且f′(x)＝2x－2－4x，即f′(x)＝2x2－2x－4x＞0，∴x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2.又 x＞0，∴x＞2.C4．(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A．1B.12C.52D.22解析由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－lnt(t>0)．y′＝2t－1t＝2t2－1t＝2(t＋22)(t－22)t.当022时，y′>0，可知y在此区间内单调递增．故当t＝22时，|MN|有最小值．答案D考点整合1．导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．2．基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xn(n∈N*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x(2)导数的四则运算法则①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．③[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)－u(x)v′(x)[v(x)]2(v(x)≠0)．(3)复合函数求导复合函数y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx′＝f′(u)g′(x)．3．函数的性质与导数(1)在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论．(3)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根(注意取舍)；③求出各极值及区间端点处的函数值；④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．4．定积分的求法及几何性质(1)定积分的求法①定义法：分割—近似代替—作和—取极限；②利用微积分基本定理：先求被积函数f(x)的原函数F(x)，即F′(x)＝f(x)，再计算F(b)－F(a)，即为所求．(2)求定积分的一些技巧①对被积函数要先化简，再求定积分；②求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和；③对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能求定积分．(3)定积分的几何性质如果在区间[a，b]上的函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ʃbaf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．分类突破一、导数的几何意义例1设函数f(x)＝ax＋1x＋b(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．(1)解f′(x)＝a－1(x＋b)2，于是2a＋12＋b＝3，a－1(2＋b)2＝0.解得a＝1，b＝－1，或a＝94，b＝－83.因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋1x－1.(2)证明已知函数y1＝x，y2＝1x都是奇函数，所以函数g(x)＝x＋1x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f(x)＝x－1＋1x－1＋1...
