高三数学 65数列求和复习课件VIP免费

第五节数列求和基础梳理数列求和的常用方法(1)公式法①直接用等差、等比数列的求和公式．②掌握一些常见的数列的前n项和．1＋2＋3＋…＋n＝____________；1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝______.(1)2nnn2(2)倒序相加法如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和就可用倒序相加法，如______数列的前n项和就是用此法推导的．等差(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如______数列的前n项和就是用此法推导的．等比(4)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式有：①11nn＝____________________；111nn②12121nn＝________________________；111()22121nn③11nn＝______________.1nn(5)分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并，形如：①{an＋bn}，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列；②an＝,21,*,2,*.fnnkkgnnkkNN基础达标1.(原创题)数列1,0，－3，…，n＋2－2n，…的前n项和为________．解析：Sn＝1＋0＋(－3)＋…＋n＋2－2n＝(3－2)＋(4－4)＋(5－8)＋…＋(n＋2－2n)＝(3＋4＋5＋…＋n＋2)－(2＋4＋8＋…＋2n)＝n(n＋5)－2n＋1＋2.122.(必修5P40引例改编)若x1＋x2＝1，且f(x1)＋f(x2)＝1,21n2n1nn则f＋f＋…＋f＝________.解析： x1＋x2＝1，f(x1)＋f(x2)＝12又 11221,nnnnnn∴111()(),2nffnn221()(),.2nffnn令S＝121()()(),nfffnnn∴S＝121()()(),nnfffnnn∴2S＝112211[()()][()()][()()]nnnffffffnnnnnn＝(n－1)×12＝1,2n∴S＝1.4n3.(必修5P62复习题7改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1,1nn则S5＝________.解析： an＝111,(1)1nnnn∴S5＝1111115(1)()()1.22356664.(必修5P54例3改编)22111()()()nnxxxyyy＝________.(x≠0，y≠1，x≠1)解析： x≠0，x≠1，y≠1，∴2222111111()()()()()nnnnxxxxxxyyyyyy111(1)(1)(1)1.1111nnnnnnyxxxxyyxxyyy5.(必修5P58习题6改编)求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1，…(a≠0)的前n项和．解析：当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，…，Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)2(121).2nnn当a≠1时，有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1，①aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an，②令①－②，得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋2a4＋…＋2an－1－(2n－1)an，即(1－a)Sn＝1＋2·－(2n－1)an. 1－a≠0，∴Sn＝1(1)1naaa21(21)2().1(1)nnnaaaaa经典例题题型一利用错位相减法求和【例1】(2011·扬州中学高三上学期期中考试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，设数列{bn}满足an＝log2bn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Tn;(3)设Gn＝a1·b1＋a2·b2＋…＋an·bn，求Gn.分析(1)由Sn与an的关系求出{an}的通项公式；(2)可证数列{bn}是等比数列，直接用等比数列的前n项和公式求解；(3)由Gn＝a1·b1＋a2·b2＋…＋an·bn的特点可知，应用错位相减法求和．解：(1) Sn＝n2＋2n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝3，也满足上式，∴综上所述，an＝2n＋1.(2)由an＝log2bn得bn＝2an＝22n＋1，∴2312124,2nnnnbb∴数列{bn}是等比数列，其中b1＝8，q＝4.∴Tn＝23＋25＋…＋22n＋1＝8(14)8(41).143nn(3)Gn＝3·23＋5·25＋…＋(2n＋1)·22n＋1，4Gn＝3·25＋5·27＋…＋(2n－1)·22n＋1＋(2n＋1)·22n＋3，两式相减得：－3Gn＝3·23＋(2·25＋2·27＋…＋2·22n＋1)－(2n＋1)·22n＋3；＝24＋－(2n＋1)·22n＋3＝164(14)14n即－3Gn＝24＋(26＋28＋...