【考纲下载】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.第3讲平面向量的数量积及平面向量应用举例1．数量积的概念(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝；(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．【思考】向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？答案：当a，b为非零向量时，a·b的符号由夹角的余弦来确定；当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝0.|a||b|cosθ|a||b|cosθ2．数量积的性质(e是单位向量，〈a，e〉＝θ)(1)e·a＝a·e＝.(2)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝；特别地，a·a＝或|a|＝.(3)a⊥b⇔.(4)cosθ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.提示：当a＝0，时，a·b＝0，但a·b＝0时不能得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，也有a·b＝0.|a|cosθ|a||b|－|a||b||a|2a·b＝0.3．数量积的运算律(1)a·b＝b·a(2)(λa)·b＝＝a·(λb)(3)(a＋b)·c＝.提示：(1)若a、b、c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a、b、c满足ab＝ac(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等．λ(a·b)a·c＋b·c4．数量积的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.x2＋y2x1x2＋y1y2＝(4)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.x1x2＋y1y2＝0.1．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解析：又θ[∈0°，180°]，∴θ＝120°.答案：D2．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－3)，则向量a与b的夹角等于()A．45°B．60°C．120°D．135°又θ∈[0°，180°]，∴θ＝135°.答案：D3．两个非零向量a、b互相垂直，给出下列各式：①a·b＝0；②a＋b＝a－b；③|a＋b|＝|a－b|；④|a|2＋|b|2＝(a＋b)2；⑤(a＋b)·(a－b)＝0.其中正确的式子有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：①a·b＝0，正确，②a＋b与a－b方向不同，错误．③|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2，∴|a＋b|＝|a－b|.正确．④(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2.正确．⑤当|a|≠|b|时(a＋b)·(a－b)＝0不成立错误，故选B项．答案：B4．(2009·江苏卷)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.解析：a·b＝|a||b|cosθ＝2cos30°＝3.答案：3利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：1．a2＝a·a＝|a|2或|a|＝已知a、b满足|a＋b|＝|a－b|，|a|＝|b|＝1，求|3a－2b|.思维点拨：由|a＋b|＝|a－b|平方后寻找a·b.解：由|a＋b|＝|a－b|得，|a＋b|2＝3|a－b|2，即(a＋b)2＝3(a－b)2，∴a2＋2a·b＋b2＝3(a2－2a·b＋b2)，∴8a·b＝2a2＋2b2＝2|a|2＋2|b|2＝4，即a·b＝，【例1】由于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ满足0°≤θ≤180°，所以用【例2】已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c与向量a的夹角．思维点拨：先求(a＋b＋c)·a，再求|a＋b＋c|.解：由已知得(a＋b＋c)·a＝a2＋a·b＋a·c＝1＋2cos120°＋3cos120°＝－，设向量a＋b＋c与向量a的夹角为θ，则即θ＝150°，故向量a＋b＋c与向量a的夹角为150°.1.两个向量平行的充要条件：(1)a∥b⇔|a·b|＝|a|·|b|⇔a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.(2)a∥b且a≠0⇔存在实数λ，使b＝λa.2．两个非零向量垂直的充要条件两非零向量垂直，则它们的数量积等于0.【例3】已知向量a...
