第一节函数及其表示分段函数问题定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(3)的值为()A．－1B．－2C．1D．2,04log,0212xxxxfxf分析由条件知当x＞0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)．从左往右x可化小，从而转到x≤0的区间上．解当x＞0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(3)＝f(2)－f(1)＝[f(1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)，又x≤0时，f(x)＝log2(4－x)，∴f(3)＝－f(0)＝－log24＝－2，故选B.规律总结分段函数问题的求解策略是分段处理解决．在具体求解时，要注意自变量在不同段上的取值与在该段上函数表达式的对应性．变式训练1已知函数f(x)＝则等于()A．32B．16C.D.,02,03xxxfx213215f【解析】f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝2－1＝，故选C.21【答案】C求函数的解析式(1)已知f＝lgx，求f(x)；(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式；(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．12x分析(1)把＋1看成一个元素t，用换元法．(2)知道函数类型，用待定系数法．(3)根据条件建立关于f(x)的另外一个等式，用方程组求解．x2解(1)令t＝＋1，则x＝，∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg.(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.(3)当x(∈－1,1)时有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①以－x代x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②由①②消去f(－x)，得f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)．x212t12t12x3231规律总结掌握求函数解析式的常用方法：换元法、待定系数法．建立方程组，根据不同条件灵活使用各种方法．变式训练２已知f(0)＝1，f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)．【解析】令x＝y，得f(0)＝f(x)－x(x＋1)＝1，∴f(x)＝x2＋x＋1.函数概念的实际应用某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地，到达B地并停留1.5小时后，再以65千米/时的速度返回A地．试将此人驱车走过的路程S表示为时间t的函数．分析路程＝速度×时间，不同时间段速度不同，所以要分段求解．解从A地到B地，路上的时间为＝5(小时)；从B地回到A地，路上的时间为＝4(小时)．所以走过的路程S(千米)与t(小时)的关系为：S＝5226065260,5052.5.105.65.665260,5.65260ttttt规律总结处理函数应用题的步骤为：审题→分析变量及取值范围→选择、确定函数模型→分析函数模型的性质、图象等→解决实际问题．变式训练３“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1、s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是()【解析】兔子在中间一段时间内路程不变，且乌龟到达终点时，兔子还差一点，选B.【答案】B函数概念的综合运用(12分)设x≥0时，f(x)＝2；x＜0时，f(x)＝1.又规定：g(x)＝(x＞0)，试写出y＝g(x)的表达式，并画出其图象．2213xfxf分析首先求f(x－1)，f(x－2)．而x＞0时x－1＞－1，x－2＞－2，与已知不符合．因此需要对x分类讨论．解当0＜x＜1时，x－1＜0，x－2＜0，∴g(x)＝＝1；2分当1≤x＜2时，x－1≥0，x－2＜0，∴g(x)＝＝；4分当x≥2时，x－1＞0，x－2≥0，∴g(x)＝＝2.6分故g(x)＝8分其图象如图：12分21321625226,101.22,2125xxx规律总结正确理解对应法则的意义是解决此题的关键，准确地找出分类讨论的原始对象与原始的分类标准是解决此题的保证．变式训练４给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)；f(x＋y)＝f(x)f(y)；f(x＋y)＝.下列函数中不满足其中任何一个等式的是()yfxfyfxf1A．f(x)＝3xB．f(x)＝sinxC．f(x)＝log2xD．f(x)＝tanx【解析】选项A满足f(x＋y)＝f(x)f(y)；选项C满足f(xy)＝f(x)＋f(y)；选项D满足f(x＋y)...
