1．在证明不等式时，根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．2.用数学归纳法进行证明不等式时，要分两个步骤，两个步骤缺一不可．(1)(归纳奠基)是递推的基础→找准n0；(2)(归纳递推)是递推的依据→n＝k(k≥n0)时命题成立．作为必要的条件运用，而n＝k＋1时情况则有待利用假设及分析法、综合法、比较法等加以证明．3.在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立．4.使用柯西不等式时，既要注意它的数学意义，又要注意它的外在形式．当一个式子与柯西不等式的左边或者右边具有一致的形式时，就可以考虑利用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大．1.设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足()A．|a＋b|≤3B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3D．|a－b|≥3解析：A＝{x|a－1
b＋2或x0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．4．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．解：证法一：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)23，①所以.②故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥3(abc)23＋9(abc)23－.又3(abc)23＋9(abc)23－≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)23＝9(abc)23－时，③式等号成立．故当且仅当a＝b＝c＝314时，原不等式等号成立．证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac①同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab＋1bc＋1ac②故a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥ab＋bc＋ac＋3ab＋3bc＋3ac≥63.③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a＝b＝c＝314时，原不等式等号成立．热点之一绝对值不等式的解法求解绝对值不等式关键是能够去掉绝对值符号．求解绝对值不等式常用的方法有零点区间讨论法，即通过逐一讨论零点区间去掉绝对值符号，从而进一步解决问题．还可以应用图象法，即画出各区间段内函数的图象，从而利用图象进行求解有关的问题，也可以应用绝对值的几何意义进行求解有关的问题．【例1】(2011·课标全国卷)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．【解】(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组x≥a，x－a＋3x≤0，或x≤a，a－x＋3x≤0，即x≥a，x≤a4，或x≤a，x≤－a2.因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－a2}．...
