第2讲两条直线的位置关系基础梳理1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔，特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为．k1＝k2平行(2)两条直线垂直①如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2⇔.②如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为．k1k2＝－1垂直2．两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组；重合⇔方程组有．唯一解无解无数个解一条规律与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．(2)在运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2时，一定要注意将两方程中的x，y系数化为分别相等．三种对称(1)点关于点的对称点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)．(2)点关于直线的对称设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点P′(x′，y′)，则有y′－y0x′－x0·k＝－1，y′＋y02＝k·x′＋x02＋b，可求出x′，y′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；②若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线．双基自测1．(人教A版教材习题改编)直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为()．A．－3B．－43C．2D．3解析由－a2×23＝－1，得：a＝3.答案D2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()．A．1B.3C．2D.5解析d＝|－5|1＋22＝5.答案D3．(2012·银川月考)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()．A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0解析 所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线斜率k＝12，排除C、D.又直线过点(1,0)，排除B，故选A.答案A5．平行线l1：3x－2y－5＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为________．解析直线l2变为：3x－2y＋32＝0，由平行线间的距离公式得：d＝－5－3232＋22＝132.答案132解析(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1.(2)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－2a＝－b2且－1a≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件．答案(1)－1(2)C【训练1】已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合．解(1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3.故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交．(2)当1·(m－2)＋m·3＝0，即m＝12时，l1⊥l2.(3)当1×3＝m(m－2)且1×2m≠6×(m－2)或m×2m≠3×6，即m＝－1时，l1∥l2.(4)当1×3＝m(m－2)且1×2m＝6×(m－2)，即m＝3时，l1与l2重合．考向二两直线的交点【例2】►求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[审题视点]可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．解法一先解方程组3x＋2y－1＝0，5x＋2y＋1＝0，得l1、l2的交点坐标为(－1,2)，再由l3的斜率35求出l的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－53(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.【训练2】直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．解法一设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足4x0＋y0＋3＝0，3－2－x0－54－y0－5＝...
