§3平面向量真题热身1．(2011·湖北改编)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角为________．解析2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝32，|a－b|＝3.设所求两向量夹角为α，则cosα＝932×3＝22，∴α＝π4.π42．(2011·重庆改编)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为________．解析a＋b＝(1，k)＋(2,2)＝(3，k＋2)． a＋b与a共线，∴k＋2－3k＝0，解得k＝1.∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝4.43．(2011·课标全国)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝____.解析 a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋kcosθ－cosθ＝0.(θ为a与b的夹角)∴(k－1)(1＋cosθ)＝0.又a与b不共线，∴cosθ≠－1，∴k＝1.14．(2011·天津)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________．解析方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA→＝(2，－x)，PB→＝(1，a－x)，∴PA→＋3PB→＝(5,3a－4x)，|PA→＋3PB→|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|PA→＋3PB→|的最小值为5.方法二设DP→＝xDC→(0
