1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．第3课时向量的数量积、向量的应用【命题预测】向量的数量积是高考命题的重点，主要考查平面向量数量积的性质在向量运算、化简、求值、证明中的应用，考查平面向量平行、垂直的充要条件的应用，以及用向量的数量积解平面几何问题．多出现在填空题与选择题中，难度不会太大．在解答题中，常常与其他章节的内容，例如三角函数、数列、函数等相结合，考查平面向量数量积的综合运用，综合性较强，属于中等偏难的题．【应试对策】1．在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量的夹角．两向量的夹角描述了两向量的方向差异，求两向量的夹角时一定要注意向量的方向．例如在△ABC中，向量的夹角是π－∠B，不是∠B.(1)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b＝0，这是因为任一与a垂直的非零向量b都有a·b＝0.(2)当a≠0时，由a·b＝a·c也不能推出b＝c.只要b，c在a方向上的投影相等(|b|cos〈b，a〉＝|c|cos〈c，a〉)，都有a·b＝a·c(如图所示，对于直线l上任意点P，的值都相等)．(3)数量积运算不满足结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线．2．数量积公式a·b＝|a||b|·cosθ(其中θ为a，b的夹角)的一些简单应用：(1)当θ＝0°时，a·b＝|a||b|，所以求两向量的模的乘积可转化为求向量的数量积．(2)当θ＝90°时，a·b＝0⇔a⊥b，所以判定两向量垂直常可转化为证明数量积为零．(3)＝0⇔点O在以AB为直径的圆上；>0⇔点O在以AB为直径的圆外⇔∠AOB＜90°.【知识拓展】向量积由两向量a和b作一个新向量c，若c满足下列三个条件：(1)向量c的模等于|a||b|sin〈a，b〉；(2)c同时垂直于a和b；；(3)c的方向按“右手法则”确定．则称c为a与b的向量积，记作c＝a×b.1．两个向量的夹角(1)定义：对于向量a与b，作，则∠AOB=θ，(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．(2)特殊情形：当θ=时，a与b同向；当θ=时，a与b反向；当θ=时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.两个非零180°0°90°2．平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即，并规定零向量与任一向量的数量积为.|a|·|b|·cosθ0a·b＝|a|·|b|·cosθ(2)b在a方向上的投影①定义：设θ是a与b的夹角，则叫做a在b的方向上的投影，叫做b在a的方向上的投影，一向量在另一向量的方向上的投影是一个实数，而不是向量，当0°≤θ<90°时，它是，当90°<θ≤180°时，它是，当θ＝90°时，它是.②a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与的投影|b|cosθ的乘积．|a|cosθ|b|cosθ正数负数b与a的方向上03．向量数量积的运算律(1)a·b＝(交换律)．(2)(λa)·b＝＝(数乘结合律)．(3)(a＋b)·c＝.(分配律)4．平面向量数量积的坐标表示a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)a·b＝.(2)|a|＝，|b|＝.(3)a⊥b⇔.(4)若a与b夹角为θ，则cosθ＝.b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·cx1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0(5)若c的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|c|＝.5．向量方法解决几何问题的步骤(1)建立几何与向量的联系，用表示问题中的几何元素，将几何问题转化为问题．(2)通过向量的，研究几何元素之间的关系，如夹角、距离、垂直、平行等问题．(3)“”把运算结果翻译成几何关系．向量运算向量1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是________．①若a·b＝0，则a＝0或b＝0②若λa＝0，则λ＝0或a＝0③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b④若a·b＝a·c，则b＝c解析：A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0，b＝0.C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b.D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c.答案：②2．(2010·江苏通州市高三素质检测)已知向量a和向...
