1．了解点到平面的距离，会求点到平面的距离．2．会将棱柱、棱锥展开成平面图形，并能处理棱柱、棱锥表面上两点之间的最短距离等有关问题．3．掌握平面图形折叠的特点，弄清平面图形与折叠后空间图形元素间发生变化的对应关系，会处理有关折叠问题．一、空间距离1．两点间的距离：连接两点的①__________的长度．2．点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，②__________________的长度．3．点到平面的距离：自点向平面引垂线，③____________的长度．4．求距离的基本步骤是：(ⅰ)找出或作出有关距离的图形；(ⅱ)证明它符合定义；(ⅲ)在平面图形内计算．二、折叠问题1．概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题．2．折叠问题分析求解原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系④______________.三、展开问题将空间图形按一定要求展开就成为平面问题，当涉及几何体表面上两点间的距离问题时，通常需要将空间图形展开转化为平面问题进行研究．【要点指南】①线段；②点到垂足之间线段；③点到垂足间线段；④保持不变1.关于折叠问题，下列说法正确的是(A)①翻折前后同在一个平面内的几何元素的位置关系不变；②翻折前后同在一个平面内的几何图形的度量结果不变；③翻折前后不同在一个平面内的几何元素的位置关系可能变化；④翻折前后不同在一个平面内的几何元素的位置关系肯定变化．A．①②③B．①②④C．①②③④D．②③④2.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，从顶点A经过正方体表面到顶点C1的最短距离是()A．22aB.5aC．(2＋1)aD.3a【解析】利用立体几何的侧面展开图，将空间问题转化为平面问题：以为BB1为轴，将平面ABA1B1折到与BCB1C1共面的A′BA′1B1位置．如图A′C1的长即为所求最短距离，计算得A′C1＝5a.所以选B.3.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为()A.34B.32C.334D.3【解析】取BC的中点M，连接AM、A1M，可证平面A1AM⊥平面A1BC.作AH⊥A1M，垂足为H，则AH⊥平面A1BC.在Rt△A1AM中，AA1＝1，AM＝3，A1M＝2，故AH＝32.4.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60°.5.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于90°.【解析】折叠后图形如图所示：易知∠AEB＝45°，∠ABE＝90°，所以AB＝BE.取AE的中点Q，连接MQ、BQ，因为MQ∥DE，MQ＝12DE，DE∥BC，DE＝BC，N是BC的中点所以MQ＝BN，MQ∥BN，所以BQ∥MN.因为BQ⊥AE，所以MN⊥AE，即M、N连线与AE成90°角．一点到平面的距离【例1】如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB＝5a.(1)证明：EB⊥FD；(2)求点B到平面FED的距离．【解析】(1)证明：因为点E为弧AC的中点所以∠ABE＝π2，即BE⊥AC.又因为FC⊥平面BED，BE⊂平面BED，所以FC⊥BE，又因为FC、AC⊂平面FBD，FC∩AC＝C，所以BE⊥平面FBD，因为FD⊂平面FBD，所以EB⊥FD.(2)FC＝BF2－BC2＝5a2－a2＝2a，S△EBD＝12BE·BD＝12a·2a＝a2，在Rt△FBE中，FE＝BE2＋BF2＝6a，取EF的中点H，连接DH，由于FD＝ED＝5a，所以S△FDE＝12FE·DH＝12×6a×5a2－6a22＝212a2，由等体积法可知：13S△EBD·FC＝13S△FDE·h，即a2·2a＝212a2·h⇒h＝42121a.即点B到平面FED的距离为42121a.【点评】线面距离、面面距离通常情况下化归为点面距离求解，求空间点面距离，关键是“找射影”，一般是应用垂面法求射影．有时用“等体积法”求点面距离更方便．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝π2，AB＝BC＝13AD＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝a，点F在AD上，且CF⊥PC.(1)求点A到平面PCF的距离；(2)求AD与平面PBC间的距离．素材1【分析】(1)通过论证平面PAC⊥平面PCF，找到点A在平面PCF上的射影H位于...
