•重点难点•重点：培养学生的应用意识和实践能力．•难点：将实际问题数学化•知识归纳•1．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路．•(1)基本思路：•(2)一般步骤：•①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；•②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；•③求解：利用正弦定理或余弦定理解出三角形，求得数学模型的解；•④检验：检验上述所求的结果是否具有实际意义，从而得出实际问题的解．•2．实际问题中的有关术语、名称•(1)仰角和俯角•在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方向角①正南方向、正北方向、正东方向和正西方向．②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图②)．③北α东，即北偏东α：自正北方向按顺时针方向旋转到经过目标的射线转过的角为α(0<α<π2)．(如图③)．•(3)方位角•从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角，如B点的方位角为α(如图⑤)•3．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．•误区警示•1．方位角与方向角要区分，方位角是由正北方向顺时针旋转到目标方向线的最小正角．•方向角是东、西、南、北、东南、西北、北偏东30°、南偏西45°等．•2．如何将实际问题的角、长度归结到三角形中，及解后考虑实际问题的实际意义．•一、解三角形应用题常见的几种情况•(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．•(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其它三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．二、根据实际问题构造三角形[例]在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的辑私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问辑私船沿什么方向能最快追上走私船？解析：如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.设辑私船用th在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中， AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6∴BC＝6， cos∠CBA＝BC2＋AB2－AC22BC·AB＝6＋3－12－426·3－1＝22，∴∠CBA＝45°，即B在C正东． ∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即辑私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．•总结评述：本例关键是首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．•[例1]要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点，并且测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为________．•分析：条件中给出了众多的角和一条边的值，为求AB，需先将AB归结到一个三角形中，由AB对角75°可归到△ACB中，需求AC(利用△ACD)和BC(利用△BCD)；也可以由AB对角45°，归结到△ABD中，需求AD(借助△ACD)和BD(借助△ACD)和BD(借助△BCD)，由条件可知，这两个三角形均可解．解析：△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°∴AC＝CD＝3km在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋(6＋22)2－2·3·6＋22cos75°＝5∴AB＝5km答：A、B之间的距离为5km.答案：5km(文)如图所示，设A、B两点...
