高中数学 第3章 不等式 331 基本不等式课件 北师大版必修5 课件VIP免费

§3.3.1基本不等式如果a,bєR，那么a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取“="。我们知道(a-b)2≥0,对于a,bєR都成立，展开得：a2-2ab+b2≥0；变形得：a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时取“=".于是我们得到如下结论：重要不等式导导2将重要不等式a2+b2≥2ab的两边同时加上a2+b2，又能将不等式化成什么形式？新不等式什么时候取等号？如果a,bєR，那么a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取“="。1将上面结论中的a,b分别用,代替，结论会变成怎样？大前提还是不是a,bєR？ab如果a≥0,b≥0，那么，当且仅当a=b时取“="。2abab基本不等式2(a2+b2）≥a2+2ab+b2=(a+b)2222()22abab思思2222baba当且仅当a=b时取“="。1.重要不等式2.基本不等式说明：变式导222baababba;)(2,,)1(22”号时取“当当且仅那么如果baabbaRba;)(2,,)2(”号时取“仅当当且那么是正数如果baabbaba推广baabbaba1122222平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数当且仅当a=b时取“="。思考4：已知x、y都是正数．利用基本不等式求证：yx＋xy≥2.证明∵x，y都是正数，∴xy＞0，yx＞0，∴xy＋yx≥2xy·yx＝2，即xy＋yx≥2.当且仅当x＝y时，等号成立．议议例1例2设a,b,c为任意实数,求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca.2222222,2,2ababbcbccaca2222()222abcabbcca222abcabbcca议展议展证明例3已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1，求证111(1)(1)(1)8abc,,,1,12112abcRabcabcbcbcbcaaaaaaa当且仅当，即时取“="。bcaabc同理有：12121,1,acabbbcc三式相乘得：111(1)(1)(1)8abc当且仅当时取“="。13abc议展议展证明检检1.设a,b均为正数，证明不等式：baab112证明时，等号成立当且仅当即，由基本不等式bbaabbbaa112ab121a10,0证明方法一因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba.同理1＋1b＝2＋ab.所以(1＋1a)(1＋1b)＝(2＋ba)(2＋ab)＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9.所以(1＋1a)(1＋1b)≥9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．变式:已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9.检检2方法二(1＋1a)(1＋1b)＝1＋1a＋1b＋1ab＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，因为a，b为正数，a＋b＝1，所以ab≤(a＋b2)2＝14，于是1ab≥4，2ab≥8，因此(1＋1a)(1＋1b)≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．