§8.6空间向量及其运算基础知识自主练习要点梳理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向______且模______的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量．(4)共面向量：_____________________的向量．大小方向相同相等平行或重合平行于同一个平面2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是______________________.存在实数λ，使得a＝λb.推论如图所示，点P在l上的充要条件是：OP→＝OA→＋ta①其中a叫做直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→=a,则①可化为OP→＝___________或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.(2)共面向量定理的向量表达式：p=________，其中x，y∈R，a、b为不共线向量，推论的表达式为MP→＝xMN→+yMB→或对空间任意一点O，有____________________或OP→＝xOM→+yOA→＋zOB→，其中x+y+z=__．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝_____________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．OA→＋tAB→xa+yb1xa＋yb＋zcOPOMxMAyMB�3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作_______，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称a与b_________，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则___________________叫做向量a，b的数量积，记作____，即_____________________．〈a，b〉互相垂直|a||b|cos〈a，b〉a·ba·b＝|a||b|cos〈a，b〉(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝__________；②交换律：a·b＝______；③分配律：a·(b＋c)＝__________.4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔_______，________，_________(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔__________________(a，b均为非零向量)．λ(a·b)b·aa·b＋a·ca1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3=0(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，dAB＝AB�=________________________________________(a2－a1)2＋（b2－b1）2＋（c2－c1）2.[难点正本疑点清源]1．空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似，故在学习空间向量时，如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习，将收到事半功倍的效果．比如：(1)定义式：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，或cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，用于求两个向量的数量积或夹角；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，用于证明两个向量的垂直关系；(3)|a|2＝a·a，用于求距离等等．2．要理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式．利用空间向量的坐标运算可将立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如(1)判断线线平行或诸点共线，可以转化为证a∥b(b≠0)⇔a＝λb；(2)证明线线垂直，转化为证a⊥b⇔a·b＝0，若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则转化为计算x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；(3)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为a·a＝|a|2，或利用空间两点间的距离公式；(4)在计算异面直线所成的角(或线面角、二面角)时，转化为求向量的夹角，即利用公式cosθ＝a·b|a||b|即可．基础自测1．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)，则P、A...
