课时2数列求和的归纳概括与提高(使用2)VIP免费

1数列求和求数列的前项和.n例11111,2,3,248解：设数列的通项为,na则12nnan1231111(1)(2)(3)()2482nnnSaaaan1111(123)()2482nn(1)1122nnn22122nnn求数列111,,,,1223(1)nn的前项和.n例2111(1)1nbnnnn则解：设数列的通项为，nb12111111()()()12231nnSbbbnn111111112231nnn1nn【小结】裂项的目的是为使部分项相互抵消.大多数裂项相消的通项均可表示为bn=其中{an}是公差d不为0的等差数列，则b1+b2+…+bn=111111()nnnnaadaa122311111111(...)nndaaaaaa2()1nn变式训练(学生课堂练习)：（1）求和:n+++++++++++32113211211112112()(1)(1)12nannnnnn11111112(1)223341122(1)11nSnnnnn1(22)nn221(2)1(12)(122)(1222)n求和：21nna解：231(2222)2(21)22nnnnSnnn注：“错位相减法”求和,常应用于型如{anbn}的数列求和,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列.222nnnS三、错位相减法错位相减法:是推导等比数列前n项和的方法231222322____________nn例2.1(1)22nn（2）求数列x，3x2，5x3,…,(2n-1)xn,…的前n项和1232482:.nnnS求习1）和：练（对于等差数列和等比数列的前n项和可直接用求和公式.方法总结公式求和拆项重组裂项相消错位相减利用转化的思想,将数列拆分、重组转化为等差或等比数列求和.拆项重组裂项相消方法总结公式求和错位相减方法总结公式求和拆项重组裂项相消错位相减对于通项型如的数列,在求和时将每项分裂成两项之差的形式,一般除首末两项或附近几项外,其余各项先后抵消,可较易求出前n项和.11nnnbba(其中为等差数列）}{nb是等比数列,的前n项和,可用错位相减法.如果是等差数列,那么求数列}{na}{nb}{nnba方法总结公式求和拆项重组裂项相消错位相减知识要点求数列的前n项和Sn基本方法：1.直接由等差、等比数列的求和公式求和，等比数列求和时注意分q=1、q≠1的讨论；2.拆项分解求和法：把数列的每一项分成几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求和；3.错位相减法：若一个数列具备有如下特征:它的各项恰好是由某个等差数列与某个等比数列之对应项相乘所构成的,其求和则用错位相减法(此法即为等比数列求和公式的推导方法)；数列求和4.裂项相消法：把数列的通项拆成几项之差,使在求和时能出现隔项相消(正负相消),剩下（首尾）若干项求和.如:(1)(2)(3)111;(1)1nnnn1111().(21)(21)22121nnnn11().ababab5.倒序相加法：即等差数列求和公式的推导方法；巩固练习(今日作业)：111,,,133557⑴求的前n项和22222111312243611482nn（）求和9,99,999,⑵求数列n的前项和11111(213351111)(1)212122121nSnnnnn解（1）、10(110)(2)11010(101)9nnnSnn、2111113()2(2)22nannnnnn（）、11111111(1)23243521111323(1)221242(1)(2)nSnnnnnnn18提高练习题1已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12,(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=an3n,求数列{bn}前n项和的公式.解:(1)设数列{an}的公差为d,则由已知得3a1+3d=12,∴d=2.∴an=2+(n-1)2=2n.故数列{an}的通项公式为an=2n.(2)由bn=an3n=2n3n得数列{bn}前n项和Sn=23+432+…+(2n-2)3n-1+2n3n①∴3Sn=232+433+…+(2n-2)3n+2n3n+1②将①式减②式得:-2Sn=2(3+32+…+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1.2∴Sn=+n3n+1.3(1-3n)又a1=2,19题2函数且构成一个数列，又.（1）求数列的通项公式；（2）比较与1的大小.23123()()nnfxaxaxaxaxnN12,,,naaa2(1)fn{}na1()3f解(1)f(1)=a1+a2+a3+…+an=n2∴an=n2-(n-1)2=2n-12012323231111()311111(2)()13()5()(21)()3333311111()1()3()(23)()(21)333332111111()12()2()2()(21)()3333333212()3311()13()133nnnnnnnfnfnnfnnfn………