西工大复变函数复习要点课件Contents目录•复数与复变函数•复变函数的极限与连续性•复变函数的积分•幂级数与泰勒级数•留数定理与辐角原理•调和函数与共形映射01复数与复变函数复数的概念与性质复数的定义复数是实数域的扩展，形式为$z=a+bi$，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。复数的几何意义复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标。复数的性质复数具有加法、减法、乘法和除法等运算性质，满足交换律、结合律和分配律。以实轴和虚轴构成的平面称为复平面，点$z=a+bi$在复平面内对应于点$(a,b)$。复平面复数$z=a+bi$的模长定义为$sqrt{a^2+b^2}$，表示点$(a,b)$到原点的距离。模长复数$z=r(costheta+isintheta)$的幅角定义为$theta$，表示点$(r,theta)$与实轴正方向的夹角。幅角复数的几何意义定义域与值域01复变函数是复数域上的函数，即从复数域到复数域的映射。定义域和值域都是复平面上的点集。单值函数与多值函数02如果对于定义域内的每一个自变量只有一个因变量与之对应，则称为单值函数；如果一个自变量可以对应多个因变量，则称为多值函数。连续性03复变函数在某一点处的极限存在且等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。如果函数在定义域内的每一点都连续，则称该函数是连续的。复变函数的概念02复变函数的极限与连续性复变函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数值的趋近状态。极限的定义极限的性质极限的计算极限具有唯一性、局部有界性、局部保序性等性质。通过四则运算和复合函数的极限法则，计算复变函数的极限。030201复变函数的极限如果复变函数在某一点处的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。连续性的定义连续函数具有局部有界性、局部保序性等性质。连续性的性质通过极限的性质和计算，判断复变函数是否连续。连续性的判定复变函数的连续性可导性的性质可导函数具有局部保序性等性质。可导性的定义如果复变函数在某一点处的导数存在，则称该函数在该点可导。可导性的判定通过极限的性质和计算，判断复变函数是否可导。复变函数的可导性03复变函数的积分123与实数平面上的曲线积分类似，复数平面上的曲线积分也是沿着某条路径的积分。复数平面上的曲线积分对于复平面上的任意点z，柯西积分公式给出了函数f(z)沿着任意简单闭曲线的积分与z点处的函数值和偏导数之间的关系。柯西积分公式解析函数在复平面上具有一些重要的性质，如可导性、连续性和可积性等。解析函数的性质复变函数的积分定义柯西积分公式柯西积分公式是复变函数中一个重要的公式，它给出了函数f(z)沿着任意简单闭曲线的积分与z点处的函数值和偏导数之间的关系。柯西积分公式的应用非常广泛，它可以用于求解某些定积分、计算某些函数的极限以及研究函数的奇异点和极点等。柯西积分公式的证明需要用到复数的基本性质和微积分的基本定理。解析函数还具有一些重要的定理，如柯西定理、泰勒定理和洛朗兹定理等。解析函数的性质是研究复变函数的重要基础，它们在物理、工程和数学等领域有着广泛的应用。解析函数在复平面上具有连续性和可导性，这是解析函数的基本性质。解析函数的性质04幂级数与泰勒级数幂级数是一种无穷序列，其中每一项都是一个非零常数与一个幂的乘积。幂级数的定义幂级数在收敛半径内的所有点上都是收敛的，而在收敛半径之外则是发散的。收敛与发散幂级数具有逐项可加性、逐项可乘性和逐项求导性等性质。幂级数的性质幂级数的概念与性质泰勒展开式任何一个函数都可以展开成泰勒级数的形式，其展开式取决于该函数在给定点的值和导数值。泰勒级数的性质泰勒级数具有逐项可加性、逐项可乘性和逐项求导性等性质。泰勒级数的定义泰勒级数是一个无穷序列，它表示一个函数在某个点上的值和该点附近的导数值。泰勒级数的概念与性质03留数定理留数定理是复变函数中的重要定理之一，它给出了计算复平面上的围道积分的一种方法。01解析函数的定义如果一个复函数在某个区域内的所有点上都满足柯西-黎曼条件，则称该函数为解析函数。02柯西积分公式柯西积分公式是表示解析函数的一种方法，它给出了函数在给定点的值与该函数在围道上的...
