3第5节柱面坐标与球面坐标系下三重积分的计算5.1利用柱面坐标计算三重积分我们不按课本上的讲法，换一种讲法。用柱面坐标计算三重积分的步骤：（1）把三重积分写成二套一：将往平面投影得，设的小边界大边界，则（2）用极坐标计算外层的二重积分：设则注意：用极坐标计算外层二重积分时，总是先对后对积分；用坐标关系，代入被积函数和里层定积分的上下限，不动，并且外层面积元素多一个因子，即，或说体积元素．当然，当投影区域的边界有圆弧或被积函数有时用柱面坐标计算简单。20离散数学【例5.1】计算三重积分，其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的区域．解旋转面的方程为：．如图5.1所示，将积分区域投影到面，得投影区域为：．的小边界大边界。积分区域为：，所以yOzx图5.121第1章集合我们看到，上面计算方法中，用作坐标（变量）。设空间有一点．并设在面上的投影点的极坐标为，则这样三个数就叫做点的柱面坐标．一般地的取值范围为：，，．容易看出，所谓柱面坐标，就是：不变还是，而换成极坐标。点的直角坐标与柱面坐标的关系为：，，．构成柱面坐标系的三个坐标面为：，以轴为中心轴，为半径的圆柱面；，过轴且极角为的半平面；，平行于平面且高度为的平面．yOx图5.2zz(,,0)P(,,)Mxyz20离散数学【例5.2】计算，其中是由曲面与所围成的区域．解，由上节中关于三重积分的对称性的讨论知，．联立两曲面方程，，解得两曲面的交线关于面的投影柱面方程为：．即积分区域在面上的投影区域为：．的小边界大边界。所以所以．yOx图5.5z22221xy21第1章集合【例5.3】计算．其中为曲面，及所围成的闭区域．解为锥面，圆柱面及平面所围成（图5.6）。由于关于面是对称的，而被积函数关于变量为偶函数，故，其中为在第一卦限的部分．交线在面上的投影是。在面上的投影区域是半圆．的小边界大边界。所以．（的大边界化为极坐标方程为。）类似地，（1'）把三重积分写成二套一：将往平面投影得，设的小边界大边界，则（2'）用极坐标计算外层的二重积分：设则yOx图5.6z222xyx20离散数学（1"）把三重积分写成二套一：将往平面投影得，设的小边界大边界，则（2"）用极坐标计算外层的二重积分：设则小技巧：如果你只熟悉“类似地”前计算方法，在整个题中，改一下（比如说把改成把改成），就可变成“类似地”前的计算方法。结果不变。（黑板解析）思考题：1．设，令：,,，则．问此运算是否正确？（不对。看黑板。）21第1章集合5.2利用球面坐标计算三重积分如图5.7所示，空间中的点可用球面坐标表示，其中，如图5.7。（是半径为的球面，所以称为球面坐标）．显然：，．点的直角坐标与球面坐标间的关系为：，，．下面我们按定义计算三重积分：用三组坐标面：常数（球面），常数（锥面），常数（半平面）将积分区域划分成个小区域：。设的增量、增量、增量（图5.8）。的体积。取点。则其右边的极限正好是关于球面坐标的三重积分所以．(5.2)zxyxyzj(,,)Mxyzq图5.7Oxyzijiq图5.8OijDsiniiirjqDirDiriqDiqDiirjDsiniirj20离散数学这就是用球面坐标计算三重积分的公式。注意：用坐标关系代入被积函数，并且体积元素多一个因子，即．当然，（5.2）还是得化为三次积分来计算。即注意：用球面坐标计算三重积分时，总是先对后对最后对积分。当然，关键还是定三次积分的上下限。关于三次积分上下限的定法，我们只讲下面三种简单情况。一般情况太复杂，不作要求。（1）由锥面（半锥角）和顶曲面围成，如图5.9.1。此时（2）的边界只有一张曲面，正半轴穿过的内部，且曲面在原点与平面相切，如图5.10.1。此时yOx图5.9.1z21第1章集合（3）的边界只有一张曲面，且坐标原点在的内部。此时上面三种情况用球面坐标计算三重积分特别简单。当被积函数有时用球面坐标计算三重积分也特别简单。设曲面。把坐标关系，，代入方程得，再解出，就是曲面的极坐标方程。yOx图5.10.1zR20离散数学（测）【例5.4】计算，其中为及围成的区域．解属于第（1）种情况（图5.9）。锥面半锥角，顶曲面的球面坐标方程。于是．思考题：2．能否用柱面坐标重解此题？（可以。），消去得。在平面的投影。的...
