朱乐平:“圆的认识”教学新研究 一、对“圆的认识”的数学思考大家知道，在平面几何中，圆的定义可以是：在平面内，到一个定点的距离等于定长的点的集合。有了这个定义，就可以给出圆心、半径与直径的定义：“这个定点叫圆心；连接圆心与圆上任意一点的线段叫半径；经过圆心，两端都在圆上的线段叫直径。”有了圆的定义与各部分名称，就可以研究圆的性质：“在同圆或等圆中，半径（或直径）有无数条，所有的半径（或直径）都相等。直径的长度是半径的 2 倍。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。”也就是说，从数学知识前后的逻辑关系来分析，必须要先定义什么叫圆，才可以定义圆的各部分名称，有了圆的定义与各部分名称后才可以研究圆的性质。这种前后的逻辑关系不能调换。事实上，在逻辑学中，概念的定义有必须遵守的规则。我们知道，虽然定义有多种形式，但在小学中，用得最多的是“属+种差”定义。圆就是用这种方式定义的概念——在平面内，到一个定点的距离等于定长（种差）的点的集合（属概念）。“定义不应该循环”是定义必须遵守的规则之一。也就是说，种差与属概念不能直接或间接地又用被定义概念来说明。否则，就会犯循环定义的逻辑错误。在小学数学中，如果把“在同一个（或两个相等的）圆中，半径（或直径）有无数条，所有半径（或直径）都相等。直径是半径的两倍，半径是直径的一半”这样的表达作为圆的定义，就犯了循环定义的逻辑错误。正如我们不能把梯形的定义说成是“上底与下底平行的四边形是梯形”，把等腰三角形的定义说成是“两腰相等的三角形叫等腰三角形”一样。二、对“圆的认识”的教学思考对“圆的认识”的教学思考主要涉及教材编写与课堂教学。1. 现行教材对“圆的特征”的内容阐述不同、表达形式各异现行几套教材多数把“圆的认识”的内容放在六年级进行教学，每一套教材都试图引导学生探索圆的特征。研究人教版、北师大版、苏教版三套教材关于“圆的认识”的编排（具体可查阅相应教材，这里不再展示），我们可以看到，没有一套教材明确写出“圆的特征”这样的表达，每一套教材都有自己的表达方式，并且在内容上各有差异。2. 教师在教学“圆的特征”时，也存在内容上的差异笔者曾对 46 位骨干教师进行调查，在被调查的教师中，有 30 人曾经教学过“圆的认识”这节课，约占 65.2%；有 9 人虽然自己没有教学过，但听过这节课，约占19.6%。在回答...
