第 1 页 (共 2 页 ) 利用平面的法向量求点到平面的距离甘肃省彭长军如图 1，设 n 是平面的一个法向量， P 是外一点， Q是内任意一点，则向量PQ在法向量n 方向上的射影长d= PQ cosP Q,n<>uuur ur=PQ nn就是点 P 到平面的距离 . 下面举几例予以说明 . 例 1．已知 A(2,3,1) 、B(4,1,2) 、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点 D 到平面 ABC 的距离 . 解：设),,(zyxn是平面 ABC 的一个法向量，则由0n AB及10n BC,得2x2yz02x2y5z02yx32zx3,取 x=3,得)2,2,3(n,于是点 D 到平面 ABC 的距离为 d=DA nn= 1749=171749. 例 2．已知四边形ABCD 是边长为 4 的正方形， E、F 分别是 AB 和 AD 的中点， GC⊥平面 ABCD ，且GC=2，求点 B到平面 EFG的距离 .解： 建立如图 2 所示的空间直角坐标系C-xyz ，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0) ，∴ GE =(2,4,-2), GF =(4,2,-2), BE =(2,0,0). 设平面 EFG 的一个法向量为),,(zyxn，则由0n GE及0n GF，得2x+4y2z04x2y2z0x=yz3y,取 y=1,得(1,1,3)n,于是点 B 到平面 EFG 的距离为 d=BE nn=11112112. 例 3.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B 1 C 1D 1 中，求点 C1 到平面 A 1 BD 的距离。第 2 页 (共 2 页 ) 解：建立如图3 所示的空间直角坐标系D-xyz ，则 A 1 (1,0,1),B(1,1,0),C 1 (0, 1,1). 设平面 A 1 BD 的一个法向量为),,(zyxn，则由1DA0n及DB0n，得xz0xy0z=-xy=-x,取 x=-1, 得 n =(-1,1, 1), 于是点 C 1 到平面 A 1BD 的距离为 d=1C D nn= 23= 2 33. 例 4．(06 年福建高考题 )如图 4，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点， CA=CB=CD=BD=2 ，AB=AD=2 ，求点 E 到平面 ACD 的距离 . 解：由题设易知AO ⊥BD，OC⊥BD ，∴ OA=1 ，OC=3 ，∴ OA2 +OC2 =AC2 ，∴∠ AOC=90，即OA ⊥OC. 以 O 为原点， OB 、OC、OA 所在直线为x、y、z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，则 A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, 3 ,0),D(-1,0,0) , ∴E( 12,32,0), AD =(-1,0,-1), AC =(0, 3 ,-1), ED =(- 32,-32,0). 设平面 ACD 的一个法向量为),,(zyxn，则由AD0n及AC0n，得xz03yz0x=-z3y=z3,取 z=3 ,得 n =(-3 ,1, 3 ),于是点 E 到平面 ACD 的距离为 d=DEnn=37=217.
