利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题VIP专享VIP免费

法则 1 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件： (1) lim0xa fx及 lim0xa g x；(2) 在点a 的 去 心 邻 域 内 ， f(x) 与g(x) 可 导 且g'(x) ≠0 ；(3) limxafxlgx， 那 么limxafxg x=limxafxlgx。法则 2 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件：(1) lim0xfx及 lim0xg x； (2)0A f，f(x) 和 g(x) 在, A 与,A上 可 导 ， 且 g'(x) ≠0 ；(3) limxfxlgx， 那 么limxfxg x=limxfxlgx。法则 3 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件： (1) limxa fx及 limxa g x； (2) 在点a 的 去 心 邻 域 内 ， f(x) 与g(x) 可 导 且g'(x) ≠0 ；(3) limxafxlgx， 那 么limxafxg x=limxafxlgx。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1. 将上面公式中的 x→a，x→∞换成 x→+∞，x→- ∞， xa ， xa 洛必达法则也成立。2. 洛必达法则可处理00，， 0，1 ，0 ，00 ，型。3. 在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，， 0，1 ，0 ，00 ，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4. 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二．高考题处理1.(2010年全国新课标理 ) 设函数2( )1xf xexax 。（1）若0a，求( )f x 的单调区间；（2）若当0x时( )0fx，求 a的取值范围解: （II ）当0x时，( )0f x，对任意实数a, 均在( )0f x；当0x时，( )0f x等价于21xxaex令21xxg xex(x>0),则322( )xxxxgxeex，令220xxh xxxxee，则1xxh xxee，0xhxxe，知 hx 在 0,上 为 增 函 数 ，00hxh； 知 h x在 0,上 为 增 函 数 ，00h xh；0gx， g(x) 在0,上 为 增 函 数 。 由 洛 必 达 法 则 知 ，200011222limlimlimxxxxxxxxeeex，故12a综上，知 a 的取值范围为1,2。2．（ 2011 年 全 国 新 课 标 理 ） 已 知 函 数 ， 曲 线( )yf x 在 点 (1, (1))f处 的 切 线 方 程 为230xy。（Ⅰ）求 a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln( )1xkf xxx，求 k 的取值范围。解：（II ）由题设可得，当0,1xx时，k<22 ln11xxx恒成立。令 g (x)= 22 ln11xxx(0,1xx), 则22221 ln121xxxgxx，再令221 ln1h xxxx(0,1xx)，则12 lnhxxxxx，212ln1hxxx，易知212ln...