2.3 2.3 数学归纳法 数学归纳法 (1) (1) 执教：太仓市实验高级中学 王树锋问题 1 ：有一台晚会，若知道晚会的第一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题 2 ：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题 3 ：有一台晚会，若知道第一个节目是唱歌，如果一个节目是唱歌则它后面的节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？一、设置情景，导学探究：a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3d……an=a1+(n-1)d问题 5: 如何证明 :1+3+5+…+(2n-1)=n2 (nN∈*)问题 4:111证明：1）当n = 1式，a = a +(1-1)d = a ,结论成立k1k+1kk+1111n12)假设n = k式结论成立，即a = a +(k -1)d a=a +d ∴ a=a +(k- 1)d+d = a +kd=a +[(k+1)- 1]d 综合1）、2）知a = a +(n -1)d成立.所以 n=k+1 时结论也成立那么nn1例：已知数列{a }为等差，公差为d, :通项公式为a = a +(n -1)d求证问题 4 ：二、挖掘内涵、形成概念：证明某些与自然数有关的数学题 , 可用下列方法来证明它们的正确性 :(1) 验证当 n 取第一个值 n0( 例如 n0=1) 时命题成立 ,(2) 假设当 n=k(kN* ， kn0 ) 时命题成立 , 证明当 n=k+1 时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证 n=n0 时命题成立若当 n=k(kn0 ) 时命题成立 , 证明当 n=k+1 时命题也成立命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。注意 1.用数学归纳法进行证明时 , 要分两个步骤 , 两个步骤缺一不可 .2 (1)( 归纳奠基 ) 是递推的基础 . 找准 n0(2)( 归纳递推 ) 是递推的依据 n ＝ k时命题成立．作为必用的条件运用，而 n ＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明证明：①当 n=1 时，左边 =1 ，右边 =1 ，等式成立。 ②假设 n=k(k∈N ,k≥1) 时等式成立 , 即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2 ， 当 n=k+1 时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2 ， 所以当 n=k+1 时等式也成立。 由①和②可知，对 n∈N ，原等式都成立。例、用数学归纳法证明 1+3+5+……+(2n-1)=n2 （ n∈N ） . 三、建模应用 , 能力建构： 221,2,3,4,4143,47,53,6141nf...
