§12.6 离散型随机变量的均值与方差 基础知识 自主学习 要点梳理 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称 E(X)= 为随机变量 X 的均值或 ,它反映了离散型随机变量取值的 . (2)方差 称 D(X)= 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 ,其 为随机变量 X 的标准差. 平均水平x1p1 + x2p2…+ + xipi…+ + xnpn 数学期望 平均偏离程度 ∑ n i=1 (xi-E(X))2pi 算术平方根 DX 2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)= . (2)D(aX+b)= (a,b 为常数) 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)= ,D(X)= . (2)若 X~B(n,p),则 E(X)= , D(X)= . aE(X) + b a2D(X) p p(1 - p) np np(1 - p) [难点正本 疑点清源] 1.对均值(或数学期望)的理解 (1)期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均. (2)E(X)是一个实数,由 X 的分布列唯一确定,即 X 作为随机变量是可变的,而 E(X)是不变的,它描述 X 值取值平均状态. (3)公式 E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn直接给出了 E(X)的求法,即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加.由此可知,求出随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列. 2.方差的意义 D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说明 X 的取值越分散,反之 D(X)越小,X 的取值越集中,由方差定义知,方差是建立在期望这一概念之上的.在 E(X)附近,统计中常用 DX来描述 X 的分散程度. 基础自测 1.随机变量 ξ 的分布列如下: ξ -1 0 1 P a b c 其中 a,b,c 成等差数列,若 E(ξ)=13,则 D(ξ)的值是______. 解析 由题意,列方程组得13acabcbac12- + =+ + == +,解之得:161312 abc. ∴D(ξ)=-1-132×16+0-132×13+1-132×12=59. 59 2.(2010·湖北)某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知 ξ 的期望 E(ξ)=8.9,则 y 的值为________. 解析 E(ξ)=7x+8×0.1+9×0.3+10y=7(0.6-y)+10y+3.5=7.7+3y,∴7.7+3y=8.9,∴y=0.4. 0.4...