§12.6 离散型随机变量的均值与方差 基础知识 自主学习 要点梳理 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称 E(X)＝ 为随机变量 X 的均值或 ，它反映了离散型随机变量取值的 . (2)方差 称 D(X)＝ 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 ，其 为随机变量 X 的标准差． 平均水平x1p1 ＋ x2p2…＋ ＋ xipi…＋ ＋ xnpn 数学期望 平均偏离程度 ∑ n i＝1 (xi－E(X))2pi 算术平方根 DX 2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ . (2)D(aX＋b)＝ (a，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)＝ ，D(X)＝ . (2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝ ， D(X)＝ . aE(X) ＋ b a2D(X) p p(1 － p) np np(1 － p) [难点正本 疑点清源] 1．对均值(或数学期望)的理解 (1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均． (2)E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即 X 作为随机变量是可变的，而 E(X)是不变的，它描述 X 值取值平均状态． (3)公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了 E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加．由此可知，求出随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列． 2．方差的意义 D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明 X 的取值越分散，反之 D(X)越小，X 的取值越集中，由方差定义知，方差是建立在期望这一概念之上的．在 E(X)附近，统计中常用 DX来描述 X 的分散程度． 基础自测 1．随机变量 ξ 的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列，若 E(ξ)＝13，则 D(ξ)的值是______． 解析 由题意，列方程组得13acabcbac12－ ＋ ＝＋ ＋ ＝＝ ＋，解之得：161312 abc. ∴D(ξ)＝－1－132×16＋0－132×13＋1－132×12＝59. 59 2．(2010·湖北)某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知 ξ 的期望 E(ξ)＝8.9，则 y 的值为________． 解析 E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y，∴7.7＋3y＝8.9，∴y＝0.4. 0.4...
