第十一章 三角形专题强化二 探索与三角形有关的夹角2018 秋季数学 八年级 上册• R 强化角度 1 求三角形内外角平分线的夹角 1．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点 P，∠P 与∠A有什么数量关系？ ①写出探究过程： 解：∠P＝12∠A.由∠2 是△BPC 的外角，得∠P＋∠1＝∠2.因为 BP 是∠ABC的平分线，CP 是∠ACB 的外角平分线，所以∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ACD，由∠ACD 是△ABC 的外角，得∠ACD＝∠ABC＋∠A，所以∠2＝12(∠ABC＋∠A)，所以∠P＝∠2－∠1＝12(∠ABC＋∠A)－12∠ABC＝12∠A. ②探究归纳：即三角形一个内角的平分线和另一个角的外角平分线所夹的角等于 . ③模型应用：如图，在△ABC 中，若∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点 D，∠A＝50°，则∠D＝ ，若∠2 与∠1 的角平分线交于 E，则∠E＝ . 第三个角的一半 25° 12.5° 2．如图，在△ABC 中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点 E 在 BC 的延长线上，∠ABC 的平分线 BD 与∠ACE 的平分线 CD 相交于点 D，连接 AD，下列结论中不正确的是( ) A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DOA＝95° B 强化角度 2 求三角形高线的夹角 3．在△ABC 中∠C≠90°，高 BD 和 CE 所在的直线交于 H，求∠BHC 与∠A 有什么关系． ①写出探究过程： 解：∠BHC＋∠A＝180°或∠BHC＝∠A.当△ABC 为锐角三角形时，如图①， ∵CE⊥AB，∴∠ABD＋∠EHB＝90°，∵BD⊥AC，∴∠ABD＋∠A＝90°，∴∠A＝∠BHE，∵∠BHC 与∠BHE 互补，∴∠BHC 与∠A 互补；当△ABC 为钝角三角形时，如图②，∵CE⊥AB，∴∠H 与∠ABD 互余，∵BD⊥AC，∴∠A 与∠ABD 互余，∴∠H＝∠A. ②探究归纳：非直角三角形的两条边上高线所夹的角与第三边所对的角 ； ③模型应用：在钝角△ABC 中，∠A＝45°，高 BD 和 CE 所在的直线交于点H，则∠BHC 的度数为 . 相等或互补 45° 强化角度 3 求高线与角平分线的夹角 4．如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC(∠B＜∠C)，AD⊥BC，垂足为 D.∠EAD 与∠B、∠C 有什么数量关系． ①写出探究过程： 解：∠EAD＝12(∠C－∠B)．∵AE 平分∠BAC，∴∠BAE＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°－∠B，∴∠EAD＝90°－∠B－12(180°－∠B－∠C)＝12(∠C－∠B)． ②探究归纳：从三角形一个顶点引出的高线与角平分线的夹角等于 ； ③模型应用：如图在△ABC 中，AE 平分∠BAC，F 为 AE 延长线上的一点，过 F 作 FD⊥BC，当∠B＝30°，∠C＝70°时，则∠F 的度数为 . 另外两角差的一半 20°
