§5.4 平面向量应用举例 基础知识 自主学习 要点梳理 1．向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题． (1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔ ⇔ . (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a⊥b⇔ ⇔ . (3)求夹角问题，利用夹角公式 cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21 x22＋y22 (θ为a与b的夹角)． a ＝ λb(b≠0) x1y2 － x2y1 ＝0 a·b ＝ 0 x1x2+y1y2 ＝ 0 2．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是 ，它们的分解与合成与向量的 相似，可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W ＝F·s＝|F||s|cos θ (θ为F与s的夹角)． 矢量 加法和减法 3．平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质． [难点正本 疑点清源] 1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合． 2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题． 基础自测 1．(2009·辽宁)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)． 则D点的坐标为________． 解析 设D点的坐标为(x，y)， 由题意知BCAD�,即(2，－2)＝(x＋2，y)， 所以x＝0，y＝－2，∴D(0，－2)． (0 ，－ 2) 2．(2010·浙江)已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0， ∴α2－2α·β＝0. 又 |α|＝1，∴α·β＝12. 又 |β|＝2，∴|2α＋β|＝(2α＋β)2 ＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋4×12＋4＝ 10. 10 3．平面上有三个点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB�⊥ BC...
